Ein Unternehmen stellt Kunststoffteile her. Erfahrungsgemäß sind 4 % der hergestellten Teile fehlerhaft. Die Anzahl fehlerhafter Teile unter zufällig ausgewählten kann als binomialverteilt angenommen werden.

50 Kunststoffteile werden zufällig ausgewählt. Bestimmen Sie für die folgenden Ereignisse jeweils die Wahrscheinlichkeit:

\(A\):  „Genau zwei der Teile sind fehlerhaft."

\(B\):  „Mindestens 6 % der Teile sind fehlerhaft."

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1a

 

Es sei \(X\) die Zufallsgröße, welche die Anzahl der fehlerhaften Kunststoffteile beschreibt. Die Zufallsgröße \(X\) ist nach \(B(50;0{,}04)\) binomialverteilt.

 

Mithilfe des Stochastischen Tafelwerks (ST) ergibt sich:

 

\[P(A) = P_{0{,}04}^{50}(X = 2) \overset{\text{ST}}{=} 0{,}27623 \approx 27{,}6\,\%\]

 

„Mindestens 6 % der 50 Teile sind „mindestens \(0{,}06 \cdot 50 = 3\) Teile".

Betrachten des Gegenereignisses (mindestens \(k\) Treffer)

Betrachten des Gegenereignisses (mindestens \(k\) Treffer)

Kumulative Wahrscheinlichkeiten der Form \(P(X \geq k)\) lassen sich im Stochastischen Tafelwerk (ST) nicht nachschlagen. Die Betrachtung des Gegenereignisses ermöglicht das Verwenden des Stochastischen Tafelwerks:

\[P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k - 1)\]

Die Kumulative Verteilungsfunktion \(F_{p}^{n}(k) = P^n_p(X \leq k) = \sum \limits_{i\;=\;0}^{k} B(n;p;i)\) ist für bestimmte Werte der Parameter \(p\) und \(n\) in der rechten Spalte des Stochastischen Tafelwerks mit Abiturzulassung tabellarisiert.

\[\begin{align*}P(B) &= P_{0{,}04}^{50}(X \geq 3) \\[0.8em] &= 1 - P_{0{,}04}^{50}(X \leq 2) \\[0.8em] &\overset{\text{ST}}{=} 1 - 0{,}67671 \\[0.8em] &= 0{,}32329 \\[0.8em] &\approx 32{,}3\,\% \end{align*}\]