Gegeben ist die in \(\mathbb R \backslash \{-2\}\) definierte Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{x^2-9}{x+2}\).
Geben Sie die Nullstellen von \(f\) sowie die Koordinaten des Schnittpunkts des Graphen von \(f\) mit der \(y\)-Achse an.
(2 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 1a
\[f(x) = \frac{x^2-9}{x+2}; \; D_f = \mathbb R \backslash \{-2\}\]
Nullstellen von \(f\): \(x = -3\) und \(x = 3\)
Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \(S_y(0|-4{,}5)\)
Ausführliche Erklärung (nicht verlangt)
Nullstellen von \(f\)
Die Nullstellen der gebrochenrationalen Funktion \(f\) sind die Nullstellen des quadratischen Terms im Zähler (Zählerpolynom), die nicht zugleich Nullstellen des Nenners sind.
Nullstelle(n) einer Funktion bestimmen
Eine Nullstelle ist die \(x\)-Koordinate eines gemeinsamen Punktes des Graphen einer Funktion \(x \mapsto f(x)\) mit der \(x\)-Achse. An einer Nullstelle gilt: \(f(x) = 0\).
Satz vom Nullprodukt: Ein Produkt ist genau dann null, wenn einer der Faktoren null ist.
\(f(x) \cdot g(x) = 0 \enspace \Rightarrow \enspace f(x) = 0\) oder \(g(x) = 0\)
Ein Quotient von Funktionen ist genau dann null, wenn die Zählerfunktion null ist.
\(\dfrac{f(x)}{g(x)} = 0 \enspace \Rightarrow \enspace f(x) = 0\; (g(x) \neq 0)\)
Lösungsformel für quadratische Gleichungen (Mitternachtsformel, vgl. Merkhilfe)
\[\textcolor{#cc071e}{a}x^2 + \textcolor{#0087c1}{b}x + \textcolor{#e9b509}{c} = 0 \enspace \Leftrightarrow \enspace x_{1,2} = \frac{-\textcolor{#0087c1}{b} \pm \sqrt{\textcolor{#0087c1}{b}^2 - 4\textcolor{#cc071e}{a}\textcolor{#e9b509}{c}}}{2\textcolor{#cc071e}{a}}\]
Diskriminante \(D = b^2 -4ac \;\):
\(D < 0\,\): keine Lösung
\(D = 0\,\): genau eine Lösung
\(D > 0\,\): zwei verschiedene Lösungen
Folgende Fälle lassen sich einfacher durch Umformung lösen:
\[\begin{align*}\textcolor{#cc071e}{a}x^2 + \textcolor{#0087c1}{b}x &= 0 &&| \; x\; \text{ausklammern (Produkt formulieren)} \\[0.8em] x \cdot (ax + b) &= 0 \\[0.8em] \Rightarrow \enspace x = 0 \vee ax + b &= 0 \end{align*}\]
\[\begin{align*}\textcolor{#cc071e}{a}x^2 + \textcolor{#e9b509}{c} &= 0 &&| -c \enspace (c \neq 0) \\[0.8em] ax^2 &= -c &&| : a \\[0.8em] x^2 &= -\frac{c}{a} &&| \; \sqrt{\quad} \\[0.8em] x_{1,2} &= \pm \sqrt{-\frac{c}{a}} \end{align*}\]
Zwei Lösungen, falls \(-\dfrac{c}{a} > 0\), keine Lösung, falls \(-\dfrac{c}{a} < 0\)
Vorgehensweise für die Bestimmung der Nullstelle(n) einer ganzrationalen Funktion ab Grad 3:
vgl. Abiturskript - 1.1.3 Ganzrationale Funktion, Nullstellen
Nullstellen einer gebrochenrationalen Funktion \(f(x) = \dfrac{\textcolor{#0087c1}{z(x)}}{n(x)}\) sind alle Nullstellen des Zählerpolynoms \(\textcolor{#0087c1}{z(x)}\), die nicht zugleich Nullstellen des Nennerpolynoms \(\boldsymbol{n(x)}\) sind.
Ist \(x_0\) eine Nullstelle des Zählerpolynoms \(\boldsymbol{z(x)}\) und zugleich eine vollständig kürzbare Nullstelle des Nennerpolynoms \(\boldsymbol{n(x)}\), so besitzt die gebrochenrationale Funktion \(f\) an der Stelle \(x_0\) eine hebbare Definitionslücke.
(vgl. Abiturskript - 1.2.1 Gebrochenrationale Funktion, Nullstellen und Polstellen)
Eine Wurzelfunktion \(f(x) = \sqrt{\textcolor{#cc071e}{g(x)}}\) nimmt genau dann den Wert null an, wenn der Radikand (Term unter der Wurzel) null ist.
\[\sin{x} = 0 \enspace \Rightarrow \enspace x = k \cdot \pi \; (k \in \mathbb Z)\]
\[\cos{x} = 0 \enspace \Rightarrow \enspace x = \dfrac{\pi}{2} + k \cdot \pi \; (k \in \mathbb Z)\]
Die natürliche Logarithmusfunktion \(x \mapsto \ln{x}\) besitzt die einzige Nullstelle \(\boldsymbol{x = 1}\).
\[\ln{\left( \textcolor{#0087c1}{f(x)} \right)} = 0 \enspace \Rightarrow \enspace \textcolor{#0087c1}{f(x) = 1}\]
Die natürliche Exponentialfunktion \(x \mapsto e^x\) sowie jede verkettete Funktion \(x \mapsto e^{f(x)}\) besitzt keine Nullstelle!
\[\begin{align*} f(x) = 0 \;\Rightarrow\; x^2 - 9 &= 0 &&| + 9 \\[0.8em] x^2 &= 9 &&| \; \sqrt{\enspace} \\[0.8em] x_{1,2} &= \pm 3\end{align*}\]
\[\begin{align*} f(x) = 0 \;\Rightarrow \;x^2 - 9 &= 0 &&|\;\text{3. Binom. Formel} \\[0.8em] (x-3)(x+3) &= 0 \\[0.8em] \Rightarrow \; x_1 = -3; \; x_2 &= 3 \end{align*}\]
Anmerkung
Ist eine Nullstelle des Zählerpolynoms \(p(x)\) einer gebrochenrationalen Funktion \(x \mapsto \dfrac{p(x)}{q(x)}\) zugleich Nullstelle des Nennerpolynoms \(q(x)\), lässt sich der gebrochenrationale Term entweder durch Kürzen vereinfachen oder es liegt ggf. eine hebbare Definitionslücke vor (vollständig kürzbare Nennernullstelle).
Schnittpunkt des Graphen von \(f\) mit der \(y\)-Achse
\[y = f(\textcolor{#e9b509}{0}) = \frac{\textcolor{#e9b509}{0}^2 - 9}{\textcolor{#e9b509}{0} +2} = -4{,}5 \; \Rightarrow \; S_y(\textcolor{#e9b509}{0}|-4{,}5)\]
