Gegeben sind die Punkte \(A(5|-5|12)\), \(B(5|5|12)\) und \(C(-5|5|12)\).
Begründen Sie, dass \(A\), \(B\) und \(C\) Eckpunkte eines Quadrats sein können, und geben Sie die Koordinaten des vierten Eckpunkts \(D\) dieses Quadrats an.
(4 BE)
Lösung zu Teilaufgabe a
Begründung, dass \(A\), \(B\) und \(C\) Eckpunkte eines Quadrats sein können
Wenn die Seiten \(\overline{AB}\) und \(\overline{BC}\) gleich lang sind und einen rechten Winkel einschließen, können \(A\), \(B\) und \(C\) Eckpunkte eines Quadrats sein.
Die Abbildung zeigt ausgehend von einem allgemeinen Viereck die zunehmende Spezialisierung der Vierecke.
So ist beispielsweise eine Raute ein spezielles Parallelogramm mit vier gleich langen Seiten und ein Quadrat ist eine spezielle Raute mit vier rechten Innenwinkeln.
Von unten nach oben betrachtet, bedeutet die Abbildung beispielsweise: Ein Quadrat ist auch ein Rechteck, ist auch ein Parallelogramm usw.
Trapez
Eigenschaften
- ein Paar parallele Seiten
- vier unterschiedlich große Innenwinkel
- Diagonalen ohne weitere Eigenschaften
Nachweis
Zeigen, dass zwei der Verbindungsvektoren \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{DC}\), \(\overrightarrow{AD}\) und \(\overrightarrow{BC}\) zueinander parallel sind, d. h. ein Vielfaches voneinander sind.
Beispielsweise: \(\textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{AB}} = k \cdot \textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{DC}}; \; k \in \mathbb R \; \Rightarrow \; \textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{AB} \parallel \overrightarrow{DC}}\)
Drachen
Eigenschaften
- je zwei gleich lange anliegende Seiten
- zwei gleich große gegenüberliegende Innenwinkel (bzgl. der Symmetrieachse)
- zueinander senkrechte Diagonalen
Nachweis
Entweder zeigen, dass je zwei anliegende Seiten gleich lang sind
\(\textcolor{#0087c1}{\vert \overrightarrow{AB}\vert} = \textcolor{#0087c1}{\vert \overrightarrow{AD}\vert}\) und \(\textcolor{#cc071e}{\vert \overrightarrow{CB}\vert} = \textcolor{#cc071e}{\vert \overrightarrow{CD}\vert}\)
Oder zeigen, dass die Diagonalen zueinander senkrecht sind.
\[\textcolor{#e9b509}{\overrightarrow{AC}} \circ \textcolor{#e9b509}{\overrightarrow{BD}} = 0 \; \Leftrightarrow \; \textcolor{#e9b509}{\overrightarrow{AC}} \perp \textcolor{#e9b509}{\overrightarrow{BD}}\]
Parallelogramm
Eigenschaften
- je zwei gleich lange parallele Seiten
- gleich große gegenüberliegende Innenwinkel
- Diagonalen halbieren sich
Nachweis
Entweder zeigen, das zwei gegenüberliegende Seiten parallel und gleich lang sind.
\(\textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{AB}} = \textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{DC}}\) oder \(\textcolor{#0087c1}{\overrightarrow{AD}} = \textcolor{#0087c1}{\overrightarrow{BC}}\)
Oder zeigen, dass die Mittelpunkte der Diagonalen identisch sind.
\[\begin{align*} \textcolor{#e9b509}{\overrightarrow{M}_{\overline{AC}}} &= \textcolor{#e9b509}{\overrightarrow{M}_{\overline{BD}}} \\\frac{1}{2}\cdot (\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC}) &= \frac{1}{2} \cdot (\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD}) &&| \cdot 2 \\ \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} &= \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD}\end{align*}\]
Raute
Eigenschaften
- vier gleich lange Seiten
- gleich große gegenüberliegende Innenwinkel
- zueinander senkrechte Diagonalen halbieren sich
Nachweis
Entweder zeigen, dass alle vier Seiten gleich lang sind.
\(\textcolor{#cc071e}{\vert \overrightarrow{AB} \vert} = \textcolor{#cc071e}{\vert \overrightarrow{BC} \vert} = \textcolor{#cc071e}{\vert \overrightarrow{CD} \vert} = \textcolor{#cc071e}{\vert \overrightarrow{DA} \vert}\)
Oder zeigen, dass die Mittelpunkte der Diagonalen identisch sind und die Diagonalen zueinander senkrecht sind.
\[\begin{align*} \textcolor{#e9b509}{\overrightarrow{M}_{\overline{AC}}} &= \textcolor{#e9b509}{\overrightarrow{M}_{\overline{BD}}} \\\frac{1}{2}\cdot (\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC}) &= \frac{1}{2} \cdot (\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD}) &&| \cdot 2 \\ \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} &= \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD}\end{align*}\]
und
\[\textcolor{#e9b509}{\overrightarrow{AC}} \circ \textcolor{#e9b509}{\overrightarrow{BD}} = 0 \; \Leftrightarrow \; \textcolor{#e9b509}{\overrightarrow{AC}} \perp \textcolor{#e9b509}{\overrightarrow{BD}}\]
Rechteck
Eigenschaften
- gleich lange genüberliegende Seiten
- vier rechte Innenwinkel
- gleich lange Diagonalen halbieren sich
Nachweis
Entweder zeigen, dass je zwei gegenüberliegende Seiten gleich lang sind und zwei anliegende Seiten einen rechten Winkel einschließen.
\(\textcolor{#cc071e}{\vert \overrightarrow{AB} \vert} = \textcolor{#cc071e}{\vert \overrightarrow{DC}\vert}\) und \(\textcolor{#0087c1}{\vert \overrightarrow{AD} \vert} = \textcolor{#0087c1}{\vert \overrightarrow{BC}\vert}\)
und beispielsweise
\[\textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{AB}} \circ \textcolor{#0087c1}{\overrightarrow{AD}} = 0 \; \Leftrightarrow \; \textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{AB}} \perp \textcolor{#0087c1}{\overrightarrow{AD}}\]
Oder zeigen, dass die Mittelpunkte der Diagonalen identisch sind und die Diagonalen gleich lang sind.
\[\begin{align*} \textcolor{#e9b509}{\overrightarrow{M}_{\overline{AC}}} &= \textcolor{#e9b509}{\overrightarrow{M}_{\overline{BD}}} \\\frac{1}{2}\cdot (\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC}) &= \frac{1}{2} \cdot (\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD}) &&| \cdot 2 \\ \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} &= \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD}\end{align*}\]
und
\[\textcolor{#e9b509}{\vert\overrightarrow{AC}\vert} = \textcolor{#e9b509}{\vert\overrightarrow{BD}\vert}\]
Quadrat
Eigenschaften
- vier gleich lange Seiten
- vier rechte Innenwinkel
- zueinander senkrechte, gleich lange Diagonalen halbieren sich
Nachweis
Entweder zeigen, dass alle vier Seiten gleich lang sind und zwei anliegende Seiten einen rechten Winkel einschließen.
\(\textcolor{#cc071e}{\vert \overrightarrow{AB} \vert} = \textcolor{#cc071e}{\vert \overrightarrow{BC}\vert} = \textcolor{#cc071e}{\vert \overrightarrow{CD}\vert} = \textcolor{#cc071e}{\vert \overrightarrow{DA}\vert}\)
und beispielsweise
\[\textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{AB}} \circ \textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{AD}} = 0 \; \Leftrightarrow \; \textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{AB}} \perp \textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{AD}}\]
Oder zeigen, dass die Mittelpunkte der Diagonalen identisch sind und die Diagonalen zueinander senkrecht und gleich lang sind.
\[\begin{align*} \textcolor{#e9b509}{\overrightarrow{M}_{\overline{AC}}} &= \textcolor{#e9b509}{\overrightarrow{M}_{\overline{BD}}} \\\frac{1}{2}\cdot (\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC}) &= \frac{1}{2} \cdot (\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD}) &&| \cdot 2 \\ \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} &= \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD}\end{align*}\]
und
\[\textcolor{#e9b509}{\overrightarrow{AC}} \circ \textcolor{#e9b509}{\overrightarrow{BD}} = 0 \; \Leftrightarrow \; \textcolor{#e9b509}{\overrightarrow{AC}} \perp \textcolor{#e9b509}{\overrightarrow{BD}}\]
und
\[\textcolor{#e9b509}{\vert\overrightarrow{AC}\vert} = \textcolor{#e9b509}{\vert\overrightarrow{BD}\vert}\]
\(A(5|-5|12)\), \(B(5|5|12)\), \(C(-5|5|12)\)
\[\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = \begin{pmatrix} 5\\5\\12 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5\\-5\\12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\10\\0 \end{pmatrix}\]
\[\vert \overrightarrow{AB} \vert = \left| \begin{pmatrix} 0\\10\\0 \end{pmatrix} \right| = \sqrt{0^2 + 10^2 + 0^2} = 10\]
\[\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OB} = \begin{pmatrix} -5\\5\\12 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5\\5\\12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -10\\0\\0 \end{pmatrix}\]
\[\vert \overrightarrow{BC} \vert = \left| \begin{pmatrix} -10\\0\\0 \end{pmatrix} \right| = \sqrt{(-10)^2 + 0^2 + 0^2} = 10\]
Anwendung des Skalarprodukts
Zueinander senkrechte (orthogonale) Vektoren
Zwei vom Nullvektor verschiedene Vektoren \(\overrightarrow{a}\) und \(\overrightarrow{b}\) sind genau dann zueinander senkrecht (orthogonal), wenn deren Skalarprodukt null ist.
\[\textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{a}} \circ \textcolor{#0087c1}{\overrightarrow{b}} = 0 \; \Leftrightarrow \; \textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{a}} \perp \textcolor{#0087c1}{\overrightarrow{b}}\]
\[\overrightarrow{AB} \circ \overrightarrow{BC} = \begin{pmatrix} 0\\10\\0 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} -10\\0\\0 \end{pmatrix} = 0 \cdot (-10) + 10 \cdot 0 + 0 \cdot 0 = 0\]
Mit \(\vert \overrightarrow{AB} \vert = \vert \overrightarrow{BC}\vert\) und \(\overrightarrow{AB} \circ \overrightarrow{BC} = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{BC}\) können \(A\), \(B\) und \(C\) Eckpunkte eines Quadrats sein.
(Vgl. Mathematik Abiturskript Bayern G9 - 3 Geometrie, 3.2.6 Nachweis von Vierecken)
Koordinaten des vierten Eckpunkts \(D\) des Quadrats \(ABCD\)
\(D(-5|-5|12)\)
Begründung (nicht verlangt)
Die Punkte \(A(5|-5|\textcolor{#cc071e}{12})\), \(B(5|5|\textcolor{#cc071e}{12})\) und \(C(-5|5|\textcolor{#cc071e}{12})\) liegen in der Ebene \(\textcolor{#cc071e}{z = 12}\). Punkt \(D\) muss ebenfalls in dieser Ebene liegen.
Da sich die \(x\)- und \(y\)-Koordinaten der Punkte \(A(\textcolor{#0087c1}{5}|\textcolor{#0087c1}{-5}|12)\) und \(C(\textcolor{#0087c1}{-5}|\textcolor{#0087c1}{5}|12)\) nur im Vorzeichen unterscheiden, sind diese symmetrisch bezüglich der \(z\)-Achse.
Der Punkt \(D\) ergänzt die Punkte \(A\), \(B\) und \(C\) zu einem Quadrat, wenn dieser symmetrisch zu Punkt \(B(\textcolor{#0087c1}{5}|\textcolor{#0087c1}{5}|12)\) bezüglich der \(z\)-Achse liegt.
\[\Rightarrow D(\textcolor{#0087c1}{-5}|\textcolor{#0087c1}{-5}|\textcolor{#cc071e}{12})\]
