An den Graphen der in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(s\,\colon x \mapsto x^2\) gibt es genau eine Tangente, deren Neigungswinkel gegen die \(x\)-Achse eine Größe von 135° hat. Geben Sie die Steigung dieser Tangente an und bestimmen Sie anschließend die Gleichung der Tangente.
(5 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 2
\[s(x) = x^2\,; \quad D_f = \mathbb R\]
Es sei \(T\) die Tangente an die Funktion \(s\), deren Neigungswinkel gegen die \(x\)-Achse \(135^{\circ}\) beträgt. Für die Tangentensteigung \(m_T\) gilt:
Steigungswinkel \(\alpha\) einer Gerade \(g \colon y = m \cdot x +t\)
\[\tan \alpha = m \qquad \alpha \neq 90^\circ\]
\[m_T = \tan{135^{\circ}} = -1\]
Tangentensteigung \(m_T\) im Berührpunkt \(P\,(\,x_P\,|\,s(x_P)\,)\):
Anwendung der Differetialrechnung:
Steigung \(m_{T}\) einer Tangente \(T\) an den Graphen einer Funktion \(f\) im Punkt \(P\,(\,x_0\,|\,f(x_0)\,)\)
\[m_{T} = f'(x_0)\]
(vgl. Merkhilfe)
\[m_T = s'(x_p)\]
\[s'(x_p) = -1\]
Erste Ableitung \(s'(x)\) bilden:
Ableitung einer Potenzfunktion
\[f(x) = x^r \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = rx^{r - 1} \quad (r \in \mathbb R)\]
(vgl. Merkhilfe)
\[s(x) = x^2 \quad \Longrightarrow \quad s'(x) = 2x\]
Koordinaten des Berührungspunktes \(P\) bestimmen:
\[\begin{align*} s'(x_P) &= -1 \\[0.8em] 2x_P &= -1 \\[0.8em] x_P &= -0{,}5 \end{align*}\]
\[s(x_P) = (-0{,}5)^2 = 0{,}25\]
\[\Longrightarrow \quad P\,(-0{,}5|0{,}25)\]
1. Lösungsansatz: Tangentengleichung
Gleichung einer Tangente \(T\) an den Graphen einer Funktion \(f\) im Punkt \(P\;(x_0|f(x_0)) \):
\[y = f'(x_{0}) \cdot (x - x_{0}) + f(x_{0})\]
\[x_P = -0{,}5\,, \quad s(x_P) = 0{,}25\,, \quad s'(x_P) = -1\]
\[ \begin {align*} y &= s'(x_{P}) \cdot (x - x_{P}) + s(x_{P}) \\[0.8em] &= (-1) \cdot (x + 0{,}5) + 0{,}25 \\[0.8em] &= -x -0{,}5 + 0{,}25 \\[0.8em] &= -x - 0{,}25 \end{align*}\]
\[\Longrightarrow \quad T\,\colon\, y = -x -0{,}25\]
2. Lösungsansatz: Allgemeinen Geradengleichung
Allgemeine Geradengleichung
\[y = mx + t\]
Wobei \(m\) die Steigung und \(t\) der \(y\)-Achsenabschnitt der Geraden ist.
\[T\,\colon\,y = m_{T} \cdot x + t\,; \quad P\,(-0{,}5|0{,}25)\]
\[m_{T} = \tan 135^{\circ} = -1\]
\[\Longrightarrow \quad T\,\colon\, y = -x + t\]
\(y\)-Achsenabschnitt \(t\) der Tangente bestimmen:
\[\begin{align*} P\,(-0{,}5|0{,}25) \in T\,\colon & &y &= -x + t \\[0.8em] & & 0{,}25 &= 0{,}5 + t & &| -0{,}5 \\[0.8em] & & -0{,}25 &= t\end{align*}\]
\[\Longrightarrow \quad T\,\colon\, y = -x -0{,}25\]
Tangente \(T\) an den Graphen von \(s\), deren Neigungswinkel gegen die \(x\)-Achse \(135^\circ\) beträgt.
