Die Polizei führt an der Messstelle eine Geschwindigkeitskontrolle durch. Bei einer Geschwindigkeit von mehr als 83 km/h liegt ein Tempoverstoß vor. Vereinfachend soll davon ausgegangen werden, dass die Geschwindigkeit eines vorbeifahrenden Pkw mit einer Wahrscheinlichkeit von 19 % größer als 83 km/h ist.
Berechnen Sie die Anzahl der Geschwindigkeitsmessungen, die mindestens durchgeführt werden müssen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 99 % mindestens ein Tempoverstoß erfasst wird.
(4 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 2a
Es sei \(X\) die Zufallsgröße, welche die Anzahl der Tempoverstöße beschreibt. Die Zufallsgröße \(X\) ist nach \(B(n;0{,}19)\) binomialverteilt.
Betrachten des Gegenereignisses (mindestens 1 Treffer)
Wahrscheinlichkeitsberechnungen einer binomialverteilten Zufallsgröße \(X\) der Form „mindestens 1 Treffer" \(P(X \geq 1)\) vereinfachen sich durch die Betrachtung des Gegenereignisses „nicht 0 Treffer":
\[P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0)\]
\[\begin{align*} P_{0{,}19}^{n}(X \geq 1) &> 0{,}99 & &|\;\text{Gegenereignis betrachten} \\[0.8em] 1 - P_{0{,}19}^{n}(X = 0) &> 0{,}99 & &| - 1 \\[0.8em] -P_{0{,}19}^{n}(X = 0) &> -0{,}01 & &| \textcolor{red}{\cdot (-1)} \enspace \text{Relationszeichen dreht!} \\[0.8em] P_{0{,}19}^{n}(X = 0) &\textcolor{red}{<} 0{,}01 \\[0.8em] \underbrace{\binom{n}{0}}_{1} \cdot \underbrace{{0{,}19}^{0}}_{1} \cdot (1 - 0{,}19)^{n - 0} &< 0{,}01 \\[0.8em] {0{,}81}^{n} &< 0{,}01 & &| \;\text{Logarithmieren, z.B.}\; \ln \\[0.8em] \ln\left( {0{,}81}^{n} \right) &< \ln 0{,}01 & &| \; \log_{a}\left(b^{n}\right) = n \cdot \log_{a}b \\[0.8em] n \cdot \ln 0{,}81 &< \ln 0{,}01 & &| \textcolor{red}{: \ln 0{,}81 < 0} \enspace \text{Relationszeichen dreht!} \\[0.8em] n &\textcolor{red}{>} \frac{\ln 0{,}01}{\ln 0{,}81} \\[0.8em] n &\gtrapprox 21{,}85 & &| \; n \in \mathbb N \end{align*} \]
\[\Rightarrow \; n = 22\]
Damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 99 % mindestens ein Tempoverstoß erfasst wird, müssen mindestens 22 Geschwindigkeitsmessungen durchgeführt werden.
