Mathematik Abitur Bayern 2018

  • Geben Sie für die Funktionen \(f_{1}\) und \(f_{2}\) jeweils die maximale Definitionsmenge und die Nullstelle an.

    \[f_{1} \colon x \mapsto \frac{2x + 3}{x^{2} - 4}\]

    \[f_{2} \colon x \mapsto \ln{(x + 2)}\]

     

    (4 BE)

  • Geben Sie den Term einer in \(\mathbb R\) definierten Funktion an, deren Graph im Punkt \((2|1)\) eine waagrechte Tangente, aber keinen Extrempunkt hat.

    (3 BE)

  • Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f\) mit \(f(x) = -x^{3} + 9x^{2} -15x -25\). Weisen Sie nach, dass \(f\) folgende Eigenschaften besitzt:

    (1) Der Graph von \(f\) besitzt an der Stelle \(x = 0\) die Steigung \(-15\).

    (2) Der Graph von \(f\) besitzt im Punkt \(A(5|f(5))\) die \(x\)-Achse als Tangente.

    (3) Die Tangente \(t\) an den Graphen der Funktion \(f\) im Punkt \(B(-1|f(-1))\) kann durch die Gleichung \(y = -36x - 36\) beschrieben werden.

    (5 BE)

  • Die Abbildung zeigt den Graphen \(G_{f}\) einer in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(f\) mit dem Wendepunkt \(W(1|4)\).

    Ermitteln Sie mithilfe der Abbildung näherungsweise den Wert der Ableitung von \(f\) an der Stelle \(x = 1\).

    Skizzieren Sie den Graphen der Ableitungsfunktion \(f'\) von \(f\) in die Abbildung; berücksichtigen Sie dabei insbesondere die Lage der Nullstellen von \(f'\) sowie den für \(f'(1)\) ermittelten Näherungswert.

    Abbildung Aufgabe 3 Analysis 1 Mathematik Abitur Bayern 2018 A

    (3 BE)

  • Für jeden Wert von \(a\) mit \(a \in \mathbb R^{+}\) ist eine Funktion \(f_{a}\) durch \(f_{a}(x) = \dfrac{1}{a} \cdot x^{3} - x\) mit \(x \in \mathbb R\) gegeben.

    Eine der beiden Abbildungen stellt einen Graphen von \(f_{a}\) dar. Geben Sie an, für welche Abbildung dies zutrifft. Begründen Sie Ihre Antwort.

    Abbildung 1 Aufgabe 5a Analysis 1 Mathematik Abitur Bayern 2018 A
    Abbildung 2 Analysis 1 Mathematik Abitur Bayern 2018 A

     

    (2 BE)

  • Für jeden Wert von \(a\) besitzt der Graph von \(f_{a}\) genau zwei Extrempunkte. Ermitteln Sie denjenigen Wert von \(a\), für den der Graph der Funktion \(f_{a}\) an der Stelle \(x = 3\) einen Extrempunkt hat.

    (3 BE)

  • Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto \sqrt{3x - 5}\) mit maximalem Definitionsbereich \(D\). Geben Sie \(D\) an und bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen von \(f\) im Punkt \((3|f(3))\).

    (6 BE)

  • Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f\) mit \(f(x) = -x^{3} + 9x^{2} -15x -25\). Weisen Sie nach, dass \(f\) folgende Eigenschaften besitzt:

    (1) Der Graph von \(f\) besitzt an der Stelle \(x = 0\) die Steigung \(-15\).

    (2) Der Graph von \(f\) besitzt im Punkt \(A(5|f(5))\) die \(x\)-Achse als Tangente.

    (3) Die Tangente \(t\) an den Graphen der Funktion \(f\) im Punkt \(B(-1|f(-1))\) kann durch die Gleichung \(y = -36x - 36\) beschrieben werden.

    (5 BE)

  • Die Abbildung zeigt eine nach unten geöffnete Parabel, die zu einer Funktion \(f\) mit Definitionsbereich \(\mathbb R\) gehört. Der Scheitel der Parabel hat die \(x\)-Koordinate 3.

    Betrachtet wird die in \(\mathbb R\) definierte Integralfunktion \(\displaystyle F \colon x \mapsto \int_{3}^{x}f(t) dt\).

    Wie viele Nullstellen hat \(F\)?. Machen Sie Ihre Antwort ohne Rechnung plausibel.

    Abbildung Aufgabe 3 Analysis 2 Mathematik Abitur Bayern 2018 A

     

    (4 BE)

  • Für jeden Wert von \(a\) mit \(a \in \mathbb R^{+}\) ist eine Funktion \(f_{a}\) durch \(f_{a}(x) = \dfrac{1}{a} \cdot x^{3} - x\) mit \(x \in \mathbb R\) gegeben.

    Eine der beiden Abbildungen stellt einen Graphen von \(f_{a}\) dar. Geben Sie an, für welche Abbildung dies zutrifft. Begründen Sie Ihre Antwort.

    Abbildung 1 Aufgabe 5a Analysis 1 Mathematik Abitur Bayern 2018 A
    Abbildung 2 Analysis 1 Mathematik Abitur Bayern 2018 A

     

    (2 BE)

  • Für jeden Wert von \(a\) besitzt der Graph von \(f_{a}\) genau zwei Extrempunkte. Ermitteln Sie denjenigen Wert von \(a\), für den der Graph der Funktion \(f_{a}\) an der Stelle \(x = 3\) einen Extrempunkt hat.

    (3 BE)

  • In Sonnenstadt gibt es 6000 Einfamilienhäuser, von denen 2400 mit einer Holzpelletheizung ausgestattet sind. Bei zwei Drittel der Einfamilienhäuser mit Holzpelletheizung ist diese mit einer solarthermischen Anlage kombiniert. 50 % aller Einfamilienhäuser sind weder mit einer Holzpelletheizung noch mit einer solarthermischen Anlage ausgestattet.

    Stellen Sie zu der beschriebenen Situation eine vollständig ausgefüllte Vierfeldertafel auf

    (3 BE)

  • Ein zufällig ausgewähltes Einfamilienhaus ist mit einer solarthermischen Anlage ausgestattet. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat es eine Holzpelletheizung?

    (2 BE)

  • Das abgebildete Baumdiagramm stellt ein zweistufiges Zufallsexperiment mit den Ereignissen \(A\) und \(B\) sowie deren Gegenereignissen \(\overline{A}\) und \(\overline{B}\) dar.

    Abbildung Aufgabe 2a Stochastik 1 Mathematik Abitur Bayern 2018 A

    Bestimmen Sie den Wert von \(p\) so, dass das Ereignis \(B\) bei diesem Zufallsexperiment mit der Wahrscheinlichkeit \(0,3\) eintritt.

    (2 BE)

  • Ermitteln Sie den größtmöglichen Wert, den die Wahrscheinlichkeit von \(B\) annehmen kann.

    (3 BE)

  • Anlässlich einer Studie wurden 300 weibliche und 700 männliche Bewohner einer Großstadt im Alter von 18 bis 30 Jahren dazu befragt, ob sie Interesse an Car-Sharing haben. 20 % der Befragten waren weiblich und gaben an, nicht interessiert zu sein. 8 % der Befragten waren männlich und gaben an, Interesse an Car-Sharing zu haben. Das Kreisdiagramm veranschaulicht die absoluten Häufigkeiten, die sich bei der Befragung ergaben.

    Abbildung Aufgabe 1a Stochastik 2 Mathematik Abitur Bayern 2018 A

    Ordnen Sie die Beschriftungen 1 bis 4 den Sektoren A bis D korrekt zu und begründen Sie Ihre Zuordnung.

    (4 BE)

  • Berechnen Sie die Größe des Mittelpunktswinkels desjenigen Sektors, der den Anteil der Befragten veranschaulicht, die männlich waren und angaben, Interesse an Car-Sharing zu haben.

    (1 BE)

  • Das abgebildete Baumdiagramm stellt ein zweistufiges Zufallsexperiment mit den Ereignissen \(A\) und \(B\) sowie deren Gegenereignissen \(\overline{A}\) und \(\overline{B}\) dar.

    Abbildung Aufgabe 2a Stochastik 1 Mathematik Abitur Bayern 2018 A

    Bestimmen Sie den Wert von \(p\) so, dass das Ereignis \(B\) bei diesem Zufallsexperiment mit der Wahrscheinlichkeit \(0,3\) eintritt.

    (2 BE)

  • Ermitteln Sie den größtmöglichen Wert, den die Wahrscheinlichkeit von \(B\) annehmen kann.

    (3 BE)

  • Gegeben ist die Kugel mit dem Mittelpunkt \(M(1|4|0)\) und Radius 6.

    Bestimmen Sie alle Werte \(p \in \mathbb R\), für die der Punkt \(P(5|1|p)\) auf der Kugel liegt.

    (3 BE)

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