Gegeben ist die Funktion \(\displaystyle b\,\colon x \mapsto \frac{\ln x}{x - 2}\) mit maximalem Definitionsbereich \(D\).

Geben Sie \(D\) an und bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen von \(b\) im Punkt \(\big(1|b(1)\big)\).

(6 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 2

 

Definitionsbereich \(D\)

Maximale Definitionsmenge bestimmen

Maximale Definitionsmenge bestimmen

Gebrochenrationale Funktion / Quotient von Funktionen

\[x \mapsto \dfrac{Zähler(x)}{\textcolor{#e9b509}{\underbrace{Nenner(x)}_{\Large{\neq \, 0}}}}\]

Nullstelle(n) des Nenners ausschließen!

Wurzelfunktion

\[x \mapsto \sqrt{\mathstrut\smash{\textcolor{#e9b509}{\underbrace{\dots}_{\Large{\geq\,0}}}}} \\ {}\]

Der Wert des Terms unter der Wurzel (Radikand ) darf nicht negativ sein!

(natürliche) Logarithmusfunktion

\(x \mapsto \ln{(\,\textcolor{#e9b509}{\underbrace{\dots}_{\Large{>\,0}}}\,)}\)  bzw.  \(x \mapsto \log_{a}{(\,\textcolor{#e9b509}{\underbrace{\dots}_{\Large{>\,0}}}\,)}\) 

Die (Natürliche) Logarithmusfunktion ist in \(\textcolor{#e9b509}{\mathbb R^{+}}\) definiert!

 

\[b(x) = \frac{\ln x}{x - 2}\]

 

Betrachtung des Zählerterms \(\ln x\):

Die (Natürliche) Logarithmusfunktion ist in \(\mathbb R^+\) definiert.

 

Nullstelle des Nennerterms:

 

\[ \begin{align*} x - 2 &= 0 &{} &| +2 \\[0.8em] x &= 2 \end{align*} \]

\(\Longrightarrow \quad x = 2\) ist Polstelle der Funktion \(b\).

 

\[ \Longrightarrow \quad D = \mathbb R^+ \backslash \{2\} \]

 

Gleichung der Tangente an den Graphen von \(b\) im Punkt \(\big(1|b(1)\big)\)

 

1. Lösungsansatz: Tangentengleichung

Tangentengleichung

Gleichung einer Tangente \(T\) an den Graphen einer Funktion \(f\) im Punkt \(P\;(x_0|f(x_0)) \):

\[y = f'(x_{0}) \cdot (x - x_{0}) + f(x_{0})\]

\[T\,\colon\, y = b'(x_{0}) \cdot (x - x_0) + b(x_0)\]

\[x_0 = 1\]

 

Erste Ableitung \(b'\) bilden:

Ableitungsregeln

Quotientenregel

\[f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{[v(x)]^2}\]

Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion

\[f(x) = \ln x \enspace (x > 0) \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = \frac{1}{x}\]

(vgl. Merrkhilfe)

\[\begin{align*}b(x) = \frac{\ln x}{x - 2} \quad \Longrightarrow \quad b'(x) &= \frac{\frac{1}{x} \cdot (x - 2) - \ln x \cdot 1}{(x -2)^2} \\[0.8em] &= \frac{\frac{x - 2}{x} - \ln x}{(x - 2)^2} \end{align*}\]

 

\(b'(1)\) und \(b(1)\) berechnen:

 

\[b'(1) = \frac{\frac{1 - 2}{1} - \ln 1}{(1 - 2)^2} = -1\]

\[b(1) = \frac{\ln 1}{1 - 2} = 0\]

 

\(x_0 = 1\), \(b'(1) = -1\) und \(b(1) = 0\) in die Tangentengleichung einsetzen:

 

\[\begin{align*} y &= b'(x_{0}) \cdot (x - x_0) + b(x_0) \\[0.8em] &= (-1) \cdot (x - 1) + 0 \\[0.8em] &= -x + 1\end{align*}\]

\[\Longrightarrow \quad T\,\colon\, y = -x + 1\]

 

2. Lösungsansatz: Allgemeine Geradengleichung

Allgemeine Geradengleichung

Allgemeine Geradengleichung

\[y = mx + t\]

Wobei \(m\) die Steigung und \(t\) der \(y\)-Achsenabschnitt der Geraden ist.

\[T\,\colon\, y = m_{T} \cdot x + t\,; \quad P\,(1|b(1))\]

 

\[b(1) = \frac {\ln 1}{1 - 2} = 0 \quad \Longrightarrow \quad P\,(1|0)\]

 

Tangentensteigung bestimmen:

Tangentensteigung

Anwendung der Differetialrechnung:

Steigung \(m_{T}\) einer Tangente \(T\) an den Graphen einer Funktion \(f\) im Punkt \(P\,(\,x_0\,|\,f(x_0)\,)\)

\[m_{T} = f'(x_0)\]

(vgl. Merkhilfe)

\[m_{T} = b'(1)\]

  

Erste Ableitung \(b'\) bilden:

Ableitungsregeln

Quotientenregel

\[f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{[v(x)]^2}\]

Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion

\[f(x) = \ln x \enspace (x > 0) \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = \frac{1}{x}\]

(vgl. Merrkhilfe)

\[\begin{align*}b(x) = \frac{\ln x}{x - 2} \quad \Longrightarrow \quad b'(x) &= \frac{\frac{1}{x} \cdot (x - 2) - \ln x \cdot 1}{(x -2)^2} \\[0.8em] &= \frac{\frac{x - 2}{x} - \ln x}{(x - 2)^2} \end{align*}\]

 

\[b'(1) = \frac{\frac{1 - 2}{1} - \ln 1}{(1 - 2)^2} = -1\]

\[\Longrightarrow \quad m_{T} = -1\]

\[\Longrightarrow \quad T\,\colon\, y = -x + t\]

  

\(y\)-Achsenabschnitt \(t\) der Tangente bestimmen:

  

\[\begin{align*}P\,(1|0) \in T\,\colon & & y &= -x + t \\[0.8em] & & 0 &= -1 + t & &| + 1 \\[0.8em] & & 1 &= t\end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad T\,\colon\, y = -x + 1\]

 

Tangente an den Graphen der Funktion b im Punkt P(1|0)

Tangente \(T\) an den Graphen von \(b\) im Punkt \(P\,(1|0)\)