Tatsächlich entscheiden sich auf dem Rückflug sechs weibliche und vierzehn männliche Reisende für das vegetarische Menü. Ermitteln Sie, wie viele weibliche Reisende unter den Passagieren sind, wenn die Ereignisse "Ein zufällig ausgewählter Passagier ist weiblich." und "Ein zufällig ausgewählter Passagier entscheidet sich für das vegetarische Menü." unabhängig sind.
(4 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 1c
Ereignisse festlegen:
\(W\): "weiblicher Passagier"
\(M\): "männlicher Passagier"
\(V\); "Wahl eines vegetarischen Menüs"
\(\overline{V}\): "Wahl eines nicht vegetarischen Menüs"
Gegeben:
"Auf dem Rückflug ... ist die Maschine mit 240 Passagieren besetzt."
\(\Longrightarrow \quad \vert \Omega \vert = 240\)
"--- entscheiden sich ... sechs weibliche Reisende für das vegetarische Menü."
\(\Longrightarrow \quad \vert W \cap V \vert = 6\)
"... entscheiden sich ... vierzehn männliche Reisende für das vegetarische Menü-"
\(\Longrightarrow \quad \vert M \cap V \vert = 14\)
Stochastische Unabhängigkeit
Stochastische (Un)Abhängigkeit von zwei Ereignissen
Zwei Ereignisse \(A\) und \(B\) heißen stochastisch unabhängig, wenn
\(P(A) \cdot P(B) = P(A \cap B)\) gilt. (vgl. Merkhilfe) *
Andernfalls heißen die Ereignisse \(A\) und \(B\) stochastisch abhängig.
Sind zwei Ereignisse \(A\) und \(B\) stochastisch unabhängig, beeinflusst das Eintreten des Ereignisses \(A\) nicht das Eintreten des Ereignisses \(B\) und umgekehrt.
* Oder wenn
\(P(\overline{A}) \cdot P(B) = P(\overline{A} \cap B)\) bzw.
\(P(A) \cdot P(\overline{B}) = P(A \cap \overline{B})\) bzw.
\(P(\overline{A}) \cdot P(\overline{B}) = P(\overline{A} \cap \overline{B})\) gilt.
Die Ereignisse \(W\) und \(V\) sind unabhängig.
\[\Longrightarrow \quad P(W \cap V) = P(W) \cdot P(V)\]
Wahrscheinlichkeiten bestimmen:
\[P(W \cap V) = \frac{\vert W \cap V \vert}{\vert \Omega \vert} = \frac{6}{240}\]
\[P(V) = \frac{\vert V \vert}{\vert \Omega \vert}; \hspace{50px} \vert V \vert = \vert W \cap V \vert + \vert M \cap V \vert = 6 + 14 = 20\]
\[\Longrightarrow \quad P(V) = \frac{20}{240}\]
\[P(W) = \frac{\vert W \vert}{\vert \Omega \vert} = \frac{\vert W \vert}{240}\]
\[\begin {align*} \Longrightarrow \quad P(W \cap V) &= P(W) \cdot P(V) \\[0.8em] \frac{6}{240} &= \frac{\vert W \vert}{240} \cdot \frac{20}{240} \\[0.8em] \frac{6}{20} &= \frac{\vert W \vert}{240} \\[0.8em] \vert W \vert &= 72 \end {align*}\]
Auf dem Rückflug nach München sind \(72\) weibliche Reisende unter den \(240\) Passagieren.
