Expand To Show Full Article
Aufgabe e

Abiturlösungen Mathematik Bayern 2019

Aufgaben mit ausführlichen Lösungen

Spiegelt man die Ebene \(T\) an \(U\), so erhält man die von \(T\) verschiedene Ebene \(T'\). Zeigen Sie, dass für einen bestimmten Wert von \(a\) die Gerade \(g_{a}\) in der Ebene \(T\) liegt, und begründen Sie, dass diese Gerade \(g_{a}\) die Schnittgerade von \(T\) und \(T'\) ist.

(4 BE)

Lösung zu Teilaufgabe e

 

Wert von \(a\), sodass die Gerade \(g_{a}\) in der Ebene \(T\) liegt

 

\(g_{a} \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 2{,}5 \\ 0 \\ 3{,}5 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -10a \\ \frac{2}{a} \end{pmatrix}; \;\lambda \in \mathbb R, \; a \in \mathbb R^{+}\) (vgl. Teilaufgabe c)

\(T \colon 5x_{1} + 4x_{2} + 5x_{3} - 30 = 0\) (vgl. Teilaufgabe b)

 

Die Gerade \(g_{a}\) liegt für einen bestimmten Wert von \(a\) in der Ebene T, wenn der Richtungsvektor von \(g_{a}\) und der Normalenvektor der Ebene \(T\) zueinander senkrecht sind. Das Skalarprodukt der Vektoren muss also gleich Null sein. Zudem muss der Aufpunkt von \(g_{a}\) in der Ebene \(T\) liegen.

Skalarprodukt - Orthogonale Vektoren

Anwendung des Skalarprodukts:

Orthogonale (zueinander senkrechte) Vektoren (vgl. Merkhilfe)

\[\overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{b} \quad \Longleftrightarrow \quad \overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b} \quad (\overrightarrow{a} \neq \overrightarrow{0}, \overrightarrow{b} \neq \overrightarrow{0})\]

\[\begin{align*} \begin{pmatrix} 0 \\ -10a \\ \frac{2}{a} \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix} &= 0 \\[0.8em] 0 \cdot 5 - 10a \cdot 4 + \frac{2}{a} \cdot 5 &= 0 \\[0.8em] -40a + \frac{10}{a} &= 0 &&| \cdot a \\[0.8em] -40a^{2} + 10 &= 0 &&| - 10 \\[0.8em] -40a^{2} &= -10 &&| : (-40) \\[0.8em] a^{2} &= 0{,}25 &&| \; \sqrt{\quad} \enspace a \in \mathbb R^{+} \\[0.8em] a &= 0{,}5 \end{align*}\]

 

Schlussfolgerung: Die Gerade \(g_{0{,}5}\) verläuft parallel zur Ebene \(T\)

 

Prüfen, ob der Aufpunkt \((2{,}5|0|3{,}5)\) von \(g_{a}\) in der Ebene \(T\) liegt (Punktprobe):

 

\[\begin{align*} (2{,}5|0|3{,}5) \in T \colon 5 \cdot 2{,}5 + 4 \cdot 0 + 5 \cdot 3{,}5 - 30 &= 0 \\[0.8em] 12{,}5 + 17{,}5 -30 &= 0 \\[0.8em] 30 - 30 &= 0 &&(\text{w}) \end{align*}\]

 

Schlussfolgerung: Die Gerade \(g_{0{,}5}\) liegt in der Ebene T \((g_{0{,}5} \subset T)\).

 

Gerade g₀,₅ in der Ebene T

Gerade \(g_{0{,}5} \subset T\) (Zeichnung nicht verlangt)

 

Begründung, dass \(g_{0{,}5}\) die Schnittgerade von \(T\) und \(T'\) ist

Spiegelung der Ebene T an der Ebene U

(Zeichnung schematisch und nicht verlangt)

 

\(g_{a} \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} \textcolor{#0087c1}{2{,}5} \\ 0 \\ 3{,}5 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} \textcolor{#0087c1}{0} \\ -10a \\ \frac{2}{a} \end{pmatrix}; \;\lambda \in \mathbb R, \; a \in \mathbb R^{+}\) (vgl. Teilaufgabe c)

 

Da die \(\textcolor{#0087c1}{x_{1}}\)-Koordinate des Richtungsvektors von \(g_{a}\) gleich Null ist und die Gerade \(g_{a}\) durch den Punkt \((\textcolor{#0087c1}{2{,}5}|0|3{,}5)\) verläuft, liegt die Gerade \(g_{a}\) für jedes \(a \in \mathbb R^{+}\) in der Ebene \(\textcolor{#0087c1}{U \colon x_{1} = 2{,}5}\).

Somit liegt die Gerade \(g_{0{,}5}\) in der Ebene \(T\) und in der Ebene \(U\). Bei der Spiegelung der Ebene \(T\) an der Ebene \(U\) ist die Gerade \(g_{0{,}5}\) Fixgerade der Spiegelung und deshalb die Schnittgerade von \(T\) und \(T'\).