a) Bestimmen Sie den Grenzwert \(\lim \limits_{x\,\to\,2} f(x)\) mit \(f(x) = \dfrac{4x^2-6x-4}{x-2}\).
(Zwischenergebnis: \(x = 2\) ist Nullstelle von \(f\))
b) Die Grenzwertbetrachtung lässt auf eine besondere Eigenschaft der gebrochrationalen Funktion \(f\) schließen. Geben sie diese an und beschreiben Sie kurz wie sich der Graph von \(f\) an der Stelle \(x = 2\) verhält.
Bestimmung des Grenzwerts \(\lim \limits_{x\,\to\,2} f(x)\)
Die Grenzwertbetrachtung
\(\lim \limits_{x\,\to\,2} f(x) = \lim \limits_{x\,\to\,2} \dfrac{\textcolor{#0087c1}{\overbrace{4x^2-6x-4}^{\to\,0}}}{\textcolor{#e9b509}{\underbrace{x-2}_{\to\,0}}}\)
führt auf den unbestimmten Ausdruck \(\dfrac{\textcolor{#0087c1}{0}}{\textcolor{#e9b509}{0}}\), der sich nicht beurteilen lässt.
Der Zähler nimmt für \(x \to 2\) den Grenzwert \(\textcolor{#0087c1}{0}\) an, weil \(x = 2\) Nullstelle des Zählers ist. Das Zwischenergebnis weist ebenfalls darauf hin. Folglich lässt sich der Nenner \(\textcolor{#e9b509}{x -2}\) durch Faktorisieren des Zählers kürzen. Anschließend ist eine aussagekräftige Grenzwertbetrachtung des gekürzten Funktionsterms möglich.
Zählerpolynom faktorisieren
Es gilt: \(ax^2 + bx + c = a \cdot (x - x_1) \cdot (x - x_2)\), wobei \(x_1\) und \(x_2\) Nullstellen sind.
Mithilfe der Lösungsformel für quadratische Gleichungen (Mitternachtsformel) ergibt sich:
Lösungsformel für quadratische Gleichungen (vgl. Merkhilfe)
\[ax^2 + bx + c = 0 \,, \qquad a, b, c \in \mathbb R \,, \quad a \neq 0\]
\[\begin{align*} x_{1,2} &= \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \quad b^2 \geq 4ac \\[0.8em] x_{1,2} &= \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}, \quad D \geq 0 \end{align*}\]
Diskriminante \(D = b^2 -4ac \;\):
\(D < 0\,\): keine Lösung
\(D = 0\,\): genau eine Lösung
\(D > 0\,\): zwei verschiedene Lösungen
\[\textcolor{#0087c1}{4x^2 - 6x - 4} = 0\]
\[x_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-4)}}{2 \cdot 8} = \frac{6 \pm 10}{8}\]
\[x_1 = \frac{6 - 10}{8} = -0{,}5; \; x_2 = \frac{6 +10}{8} = 2\]
\[\Rightarrow \;\textcolor{#0087c1}{4x^2 - 6x - 4} = 4 \cdot (x + 0{,}5)\cdot (x - 2)\]
Grenzwert \(\boldsymbol{\lim \limits_{x\, \to\, 2} f(x)}\) bestimmen
\[\begin{align*} \lim \limits_{x\, \to\, 2}f(x) &= \lim \limits_{x\,\to\,2} \frac{4x^2 - 6x - 4}{x - 2} \\[0.8em] &= \lim \limits_{x\,\to\,2} \frac{4 \cdot (x + 0{,}5) \cdot \cancel{(x - 2)}}{\cancel{x - 2}} &&(x \neq 2) \\[0.8em] &= \lim \limits_{x\,\to\,2} 4 \cdot (\underbrace{x + 0{,}5}_{\to\,2{,}5}) \\[0.8em] &= 10\end{align*}\]
Besondere Eigenschaft von \(f\), Verhalten des Graphen von \(f\) an der Stelle \(x = 2\)
Die einfache Nennernullstelle \(x = 2\) ist zugleich einfache Nullstelle des Zählers der gebrochenrationalen Funktion \(f\). Die Nennernullstelle lässt sich dadurch vollständig kürzen (vgl. Teilaufgabe a) und \(x = 2\) ist somit eine hebbare Definitionslücke von \(f\).
Der Graph der gebrochnrationalen Funktion \(f\) verhält sich wie der Graph der linearen Funktion \(x \mapsto 4 \cdot (x + 0{,}5)\), besitzt aber an der Stelle \(x = 2\) ein Definitionsloch.
(Skizze nicht verlangt)
