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Aufgabe 4c Stochastik 1 Teil B 2021 - Abiturlösungen

Abiturlösungen Mathematik Bayern 2021

Aufgaben mit ausführlichen Lösungen

Bestimmen Sie, wie groß \(n\) mindestens sein muss, damit die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich drei verschiedene Motive auf den Ansteckern befinden, größer als 90 % ist.

 (3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 4c

 

Der Term, mit dem sich die Wahrscheinlichkeit dafür bestimmen lässt, dass sich drei verschiedene Motive auf den Anstecken befinden, ist aus Teilaufgabe 4b bekannt.

 

\[P(\text{„Drei verschiedene Motive"}) = \frac{(n - 1) \cdot (n - 2)}{n^{2}}\]

 

Diese Wahrscheinlichkeit soll größer als 90 % sein. Nach geeigneten Umformungen ergibt die Bedingung eine quadratische Ungleichung.

 

\[\begin{align*}\frac{(n - 1) \cdot (n - 2)}{n^{2}} &> 0{,}9 &&| \cdot n^{2} \\[0.8em] (n - 1)(n - 2) &> 0{,}9n^{2} \\[0.8em] n^{2} - n - 2n + 2 &> 0{,}9n^{2} &&| - 0{,}9n^{2} \\[0.8em] 0{,}1n^{2} - 3n + 2 &> 0 &&| \; n > 0; \; n \in \mathbb N \end{align*}\]

 

Die rechnerische Lösung einer quadratischen Ungleichung ist relativ aufwendig, weshalb eine anschauliche halbgraphische Lösung vorzuziehen ist (vgl. Abiturskript - 1.1.2 Quadratische Funktion, Quadratische Ungleichungen).

Zunächst werden die Nullstellen der quadratischen Gleichung \(\textcolor{#cc071e}{0{,}1}n^{2} \textcolor{#0087c1}{- 3}n + \textcolor{#e9b509}{2} = 0\) mithilfe der Lösungsformel für quadratische Gleichungen (Mitternachtsformel) bestimmt.

Anschließend wird die nach oben geöffnete Parabel (positiver Öffnungsfaktor) des quadratischen Terms \(\textcolor{#cc071e}{0{,}1}n^{2} - 3n + 2\) qualitativ skizziert.

Anhand der Nullstellen lässt sich nun der Bereich formulieren, in dem die Parabel im Positiven verläuft, also \(0{,}1n^{2} - 3n + 2 \textcolor{#89ba17}{>} 0\) gilt.

Lösungsformel für quadratische Gleichungen

Lösungsformel für quadratische Gleichungen (vgl. Merkhilfe)

\[ax^2 + bx + c = 0 \,, \qquad a, b, c \in \mathbb R \,, \quad a \neq 0\]

\[\begin{align*} x_{1,2} &= \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \quad b^2 \geq 4ac \\[0.8em] x_{1,2} &= \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}, \quad D \geq 0 \end{align*}\]

Diskriminante \(D = b^2 -4ac \;\):

\(D < 0\,\): keine Lösung

\(D = 0\,\): genau eine Lösung

\(D > 0\,\): zwei verschiedene Lösungen

\[\begin{align*}n_{1,2} &= \frac{-\textcolor{#0087c1}{(-3)} \pm \sqrt{\textcolor{#0087c1}{(-3)}^{2} - 4 \cdot \textcolor{#cc071e}{0{,}1} \cdot \textcolor{#e9b509}{2}}}{2 \cdot \textcolor{#cc071e}{0{,}1}} \\[0.8em] &= \frac{3 \pm \sqrt{8{,}2}}{0{,}2} \\[0.8em] \Rightarrow \enspace  n_{1} &= \frac{3 - \sqrt{8{,}2}}{0{,}2} = 0{,}68\dots \\[0.8em] n_{2} &= \frac{3 + \sqrt{8{,}2}}{0{,}2} = 29{,}31\dots\end{align*}\]

 

Verlauf der Parabel von 0,1x² - 3x + 2 an den Nullstelle n₁ und n₂ 

Für \(n \textcolor{#89ba17}{<} n_{1}\) und \(n \textcolor{#89ba17}{>} n_{2}\) verläuft die Parabel im Positiven, das heißt, für \(n \textcolor{#89ba17}{<} n_{1}\) und \(n \textcolor{#89ba17}{>} n_{2}\) ist die Ungleichung \(0{,}1n^{2} - 3n + 2 \textcolor{#89ba17}{>} 0\) erfüllt.

Allerdings kommt \(n < n_{1}\) im Sachzusammenhang nicht in Betracht, da die Anzahl verschiedener Motive größer als eins sein muss.

Somit folgt:

 

\[\begin{align*}n &\textcolor{#89ba17}{>} n_{2} \\[0.8em]n &\textcolor{#89ba17}{>} 29{,}31\dots &&| \; n \in \mathbb N\;\text{(Anzahl ist ganzzahlig)}\\[0.8em]\Rightarrow \enspace n &= 30\end{align*}\]

 

Damit die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich drei verschiedene Motive auf den Ansteckern befinden, größer als 90 % ist, muss die Anzahl \(n\) der verschiedenen Motive mindestens 30 sein.

 

Anmerkung:

Bei dieser Aufgabe handelt es sich nicht um eine klassische „3-Mindestens-Aufgabe", die nach der Länge \(n\) einer Bernoulli-Kette fragt wie beispielsweise Teilaufgabe 2c Stochastik 1 Prüfungsteil B Mathematik Abitur Bayern 2020.