Die Zufallsgröße $X$ kann die Werte 0, 1, 2 und 3 annehmen. Die Tabelle zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ mit $p_1,p_2\in [0;1]$.

Zeigen Sie, dass der Erwartungswert von $X$ nicht größer als 2,2 sein kann.

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 3

Die Größe des Erwartungswerts der Zufallsgröße $X$ ist von den beiden unbekannten Wahrscheinlichkeiten $p_1$ und $p_2$ abhängig. Um die möglichen Werte der Wahrscheinlichkeiten festlegen zu können, müssen zwei Bedingungen mit $p_1$ und $p_2$ formuliert werden.

Erwartungswert der Zufallsgröße $X$ in Abhängigkeit von $p_1$ und $p_2$ bestimmen (erste Bedingung):

$$\begin{array}{rl}E(X)& =0\cdot p_1+1\cdot \frac{3}{10}+2\cdot \frac{1}{5}+3\cdot p_2\\ & =\frac{3}{10}+\frac{2}{5}+3p_2\\ & =\frac{3}{10}+\frac{4}{10}+3p_2\\ & =\frac{7}{10}+3p_2\end{array}$$

Die Summe der Wahrscheinlichkeiten $P(X=k)$ ist gleich Eins (zweite Bedingung).

$$\begin{array}{rl}\sum P(X=k)& =1\\ p_1+\frac{3}{10}+\frac{1}{5}+p_2& =1\\ p_1+\frac{3}{10}+\frac{2}{10}+p_2& =1\\ p_1+\frac{1}{2}+p_2& =1& & |-\frac{1}{2}\\ p_1+p_2=\frac{1}{2}\end{array}$$

Wahrscheinlichkeiten $p_1$ und $p_2$ für den größtmöglichen Erwartungswert der Zufallsgröße $X$ festlegen:

Der Erwartungswert ${\displaystyle E(X)=\frac{7}{10}+3p_2}$ ist am größten, wenn die Wahrscheinlichkeit $p_2$ den größtmöglichen Wert annimmt.

$$\begin{array}{rl}E(X)& =\frac{7}{10}+3p_2\\ p_1+p_2& =\frac{1}{2}\end{array}\}\Rightarrow p_1=0;p_2=\frac{1}{2}$$

Größtmöglichen Erwartungswert der Zufallsgröße $X$ berechnen:

$$\begin{array}{rl}E(X)& =\frac{7}{10}+3\cdot \frac{1}{2}\\ & =\frac{7}{10}+\frac{3}{2}\\ & =\frac{7}{10}+\frac{15}{10}\\ & =\frac{22}{10}=2,2\end{array}$$

$⟹$ Der Erwartungswert der Zufallsgröße $X$ kann nicht größer als 2,2 sein.