Betrachtet wird die Schar der in \(\mathbb R \backslash \{-3\}\) definierten Funktionen \(f_k \colon x \mapsto \dfrac{x^2-k}{x+3}\) mit \(k \in \mathbb R \backslash \{9\}\). Der Graph von \(f_k\) wird mit \(G_k\) bezeichnet. Die Funktion \(f\) aus Aufgabe 1 ist somit die Funktion \(f_4\) dieser Schar.
Geben Sie die Anzahl der Nullstellen von \(f_k\) in Abhängigkeit von \(k\) an und begründen Sie, dass die Funktion \(f_0\) der Schar eine Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel hat.
(4 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 2a
\[f_k(x) = \frac{x^2-k}{x+3}; \; D_{f_k} = \mathbb R \backslash \{-3\}, \; k \in \mathbb R \backslash \{9\}\]
Anzahl der Nullstellen von \(f_k\) in Abhängigkeit von \(k\)
\(k > 0\): zwei (einfache) Nullstellen (mit Vorzeichenwechsel)
\(k = 0\): eine (doppelte) Nullstelle (ohne Vorzeichenwechsel)
\(k < 0\): keine Nullstelle
Ergänzende Erklärung (nicht verlangt)
Die Nullstellen der gebrochenrationalen Funktionenschar \(f_k\) sind die Nullstellen des quadratischen Terms im Zähler (Zählerpolynom), die nicht zugleich Nullstellen des Nenners sind.
Nullstelle(n) einer Funktion bestimmen
Eine Nullstelle ist die \(x\)-Koordinate eines gemeinsamen Punktes des Graphen einer Funktion \(x \mapsto f(x)\) mit der \(x\)-Achse. An einer Nullstelle gilt: \(f(x) = 0\).
Satz vom Nullprodukt: Ein Produkt ist genau dann null, wenn einer der Faktoren null ist.
\(f(x) \cdot g(x) = 0 \enspace \Rightarrow \enspace f(x) = 0\) oder \(g(x) = 0\)
Ein Quotient von Funktionen ist genau dann null, wenn die Zählerfunktion null ist.
\(\dfrac{f(x)}{g(x)} = 0 \enspace \Rightarrow \enspace f(x) = 0\; (g(x) \neq 0)\)
Lösungsformel für quadratische Gleichungen (Mitternachtsformel, vgl. Merkhilfe)
\[\textcolor{#cc071e}{a}x^2 + \textcolor{#0087c1}{b}x + \textcolor{#e9b509}{c} = 0 \enspace \Leftrightarrow \enspace x_{1,2} = \frac{-\textcolor{#0087c1}{b} \pm \sqrt{\textcolor{#0087c1}{b}^2 - 4\textcolor{#cc071e}{a}\textcolor{#e9b509}{c}}}{2\textcolor{#cc071e}{a}}\]
Diskriminante \(D = b^2 -4ac \;\):
\(D < 0\,\): keine Lösung
\(D = 0\,\): genau eine Lösung
\(D > 0\,\): zwei verschiedene Lösungen
Folgende Fälle lassen sich einfacher durch Umformung lösen:
\[\begin{align*}\textcolor{#cc071e}{a}x^2 + \textcolor{#0087c1}{b}x &= 0 &&| \; x\; \text{ausklammern (Produkt formulieren)} \\[0.8em] x \cdot (ax + b) &= 0 \\[0.8em] \Rightarrow \enspace x = 0 \vee ax + b &= 0 \end{align*}\]
\[\begin{align*}\textcolor{#cc071e}{a}x^2 + \textcolor{#e9b509}{c} &= 0 &&| -c \enspace (c \neq 0) \\[0.8em] ax^2 &= -c &&| : a \\[0.8em] x^2 &= -\frac{c}{a} &&| \; \sqrt{\quad} \\[0.8em] x_{1,2} &= \pm \sqrt{-\frac{c}{a}} \end{align*}\]
Zwei Lösungen, falls \(-\dfrac{c}{a} > 0\), keine Lösung, falls \(-\dfrac{c}{a} < 0\)
Vorgehensweise für die Bestimmung der Nullstelle(n) einer ganzrationalen Funktion ab Grad 3:
vgl. Abiturskript - 1.1.3 Ganzrationale Funktion, Nullstellen
Nullstellen einer gebrochenrationalen Funktion \(f(x) = \dfrac{\textcolor{#0087c1}{z(x)}}{n(x)}\) sind alle Nullstellen des Zählerpolynoms \(\textcolor{#0087c1}{z(x)}\), die nicht zugleich Nullstellen des Nennerpolynoms \(\boldsymbol{n(x)}\) sind.
Ist \(x_0\) eine Nullstelle des Zählerpolynoms \(\boldsymbol{z(x)}\) und zugleich eine vollständig kürzbare Nullstelle des Nennerpolynoms \(\boldsymbol{n(x)}\), so besitzt die gebrochenrationale Funktion \(f\) an der Stelle \(x_0\) eine hebbare Definitionslücke.
(vgl. Abiturskript - 1.2.1 Gebrochenrationale Funktion, Nullstellen und Polstellen)
Eine Wurzelfunktion \(f(x) = \sqrt{\textcolor{#cc071e}{g(x)}}\) nimmt genau dann den Wert null an, wenn der Radikand (Term unter der Wurzel) null ist.
\[\sin{x} = 0 \enspace \Rightarrow \enspace x = k \cdot \pi \; (k \in \mathbb Z)\]
\[\cos{x} = 0 \enspace \Rightarrow \enspace x = \dfrac{\pi}{2} + k \cdot \pi \; (k \in \mathbb Z)\]
Die natürliche Logarithmusfunktion \(x \mapsto \ln{x}\) besitzt die einzige Nullstelle \(\boldsymbol{x = 1}\).
\[\ln{\left( \textcolor{#0087c1}{f(x)} \right)} = 0 \enspace \Rightarrow \enspace \textcolor{#0087c1}{f(x) = 1}\]
Die natürliche Exponentialfunktion \(x \mapsto e^x\) sowie jede verkettete Funktion \(x \mapsto e^{f(x)}\) besitzt keine Nullstelle!
\[\begin{align*}f_k(x) = 0 \; \Rightarrow \; x^2 - k &= 0 &&| +k \\[0.8em] x^2 &= k &&| \; \sqrt{\quad} \\[0.8em] x_{1,2} &= \pm \sqrt{k} &&| \; k \in \mathbb R \backslash \{9\} \end{align*}\]
Somit hat \(f_k\)
für \(k > 0\) zwei (einfache) Nullstellen (mit Vorzeichenwechsel),
für \(k = 0\) eine (doppelte) Nullstelle (ohne Vorzeichenwechsel) und
für \(k < 0\): keine Nullstelle.
Mit \(k \neq 9\) ist der Fall, dass \(-3\) zugleich eine Zähler- und Nennernullstelle ist, ausgeschlossen. Andernfalls wäre \(x = -3\) eine hebbare Definitionslücke (vollständig kürzbare Nennernullstelle).
Begründung, dass \(f_0\) eine Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel hat
\[f_{\textcolor{#e9b509}{0}}(x) = \frac{x^2 - \textcolor{#e9b509}{0}}{x+3} = \frac{x^2}{x+3}; \; D_{f_0} = ]-3;+\infty[\]
\(f_0(x) = 0 \; \Rightarrow \; x^2 = 0\; \Leftrightarrow \; x = 0\)
Mit \(f_0(x) = \dfrac{\textcolor{#0087c1}{\overset{\geq\,0}{x^2}}}{\textcolor{#cc071e}{\underbrace{x+3}_{> \,0}}} \geq 0\) für \(x \in \; ]-3;+\infty[\) ist \(x = 0\) einzige Nullstelle und ohne Vorzeichenwechsel von \(f_0\).
