Klausuren Q11 / Q12 Mathematik Bayern

Aufgaben mit ausführlichen Lösungen

Geben Sie eine gebrochenrationale Funktion \(f\) an, deren Graph die Asymptote mit der Gleichung \(y = 2x - 1\) sowie die Nullstelle \(x = 2\) besitzt.

Anmerkung:

Die gesuchte gebrochenrationale Funktion \(f\) ist lediglich anzugeben. Jede Erklärung oder Rechnung kann entfallen.

 

Erläuterungen zur Wahl eines geeigneten Ansatzes:

Die Asymptote mit der Gleichung \(y = 2x - 1\) ist eine schräge Asymptote (Steigung 2).

Der Graphe einer gebrochenrationalen Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{a_{m}x^{m} + a_{m - 1}x^{m - 1} + \dots + a_{1}x +a_{0}}{b_{n}x^{n} + b_{n - 1}x^{n - 1} + \dots + b_{1}x + b_{0}}\) besitzt eine schräge Asymptote, wenn \(m = n + 1\) gilt. Das heißt, wenn der Grad des Zählerpolynoms um Eins größer ist, als der Grad des Nennerpolynoms.

Asymptoten gebrochenrationaler Funktionen

Asymptoten gebrochenrationaler Funktionen

Eine Funktion \(f(x) = \dfrac{z(x)}{n(x)} = \dfrac{a_{m}x^{m} + a_{m - 1}x^{m - 1} + \dots + a_{1}x +a_{0}}{b_{n}x^{n} + b_{n - 1}x^{n - 1} + \dots + b_{1}x + b_{0}}\), die sich als Quotient zweier ganzrationaler Funktionen (Polynome) \(z(x)\) und \(n(x)\) darstellen lässt, heißt gebrochenrationale Funktion. Die Nullstellen des Nennerpolynoms \(n(x)\) können nicht in der Definitionsmenge \(D_{f}\) enthalten sein und werden als Definitionslücken bezeichnet.

Senkrechte Asymptoten

Wenn an einer Definitionslücke \(x_{0}\) einer gebrochenrationalen Funktion \(f\)

\(\begin{align*}\lim \limits_{x\,\to\,x_{0}^{-}}f(x) = +\infty \enspace &\text{oder} \enspace \lim \limits_{x\,\to\,x_{0}^{-}}f(x) = -\infty \\[0.8em] \text{und} \enspace \lim \limits_{x\,\to\,x_{0}^{+}}f(x) = +\infty \enspace &\text{oder} \enspace \lim \limits_{x\,\to\,x_{0}^{+}}f(x) = -\infty \end{align*}\)

gilt, so nennt man \(x_{0}\) eine Polstelle von \(f\) und die Gerade mit der Gleichung \(x = x_{0}\) senkrechte Asymptote des Graphen von \(f\)

Waagrechte und schräge Asymptoten

Der Graph einer gebrochenrationalen Funktion \(f\) hat für \(x \to - \infty\) bzw. \(x \to + \infty\) im Fall

\(m < n\): die \(x\)-Achse \((y = 0)\) als waagrechte Asymptote,
\(m = n\): eine waagrechte Asymptote parallel zur \(\boldsymbol{x}\)-Achse mit der Gleichung \(y = \dfrac{a_{m}}{b_{n}}\),
\(m = n + 1\): eine schräge Asymptote,
\(m > n + 1\): keine waagrechte oder schräge Asymptote.

Durch eine Polynomdivision lässt sich eine gebrochenrationale Funktion \(f\) mit \(m = n + 1\) in folgende Form überführen:

 

\[f(x) = g(x) + r(x)\]

 

Dabei ist \(g(x)\) ein linearer Funktionsterm und \(r(x)\) ein gebrochenrationaler Rest, der für \(x \to \pm \infty\) gegen Null geht.

 

\[\lim \limits_{x\,\to\,\pm\,\infty} f(x) = \lim \limits_{x\,\to\,\pm\,\infty} [g(x) + \underbrace{r(x)}_{\to\,0}] = \lim \limits_{x\,\to\,\pm\,\infty} g(x)\]

 

Der lineare Funktionsterm \(g(x)\) bestimmt das Verhalten der gebrochenrationalen Funktion \(f\) für \(x \to \pm \infty\). Der Graph von \(f\) nähert sich im Unendlichen der schrägen Asymptote mit der Gleichung \(y = g(x)\) an.

 

Fazit:

Ist ein gebrochenrationale Funktion \(f\) gesucht, deren Graph eine schräge Asymptote besitzt, wählt man zweckmäßig den Ansatz \(f(x) = g(x) + r(x)\). Wie der gebrochenrationale Rest \(r(x)\) zu formulieren ist, hängt davon ab, welche weiteren Eigenschaften die gesuchte gebrochenrationale Funktion \(f\) erfüllen soll. 

 

1. Bedingung: \(y = 2x - 1\) ist schräge Asymptote 

 

\(\Longrightarrow \quad f(x) = 2x - 1 + r(x)\) mit \(\lim \limits_{x\,\to\,\pm\,\infty} r(x) = 0\)

 

Da die Aufgabenstellung keine Aussage zu Definitionslücken bzw. Polstellen der gesuchten gebrochenrationalen Funktion \(f\) macht, kann der gebrochenrationale Rest \(r(x)\) beispielsweise mit \(r(x) = \dfrac{c}{x}\) erfolgen. Dabei ist \(c\) eine Konstante, deren Wert so zu wählen ist, dass \(f\) die Nullstelle \(x = 2\) besitzt.

 

2. Bedingung: \(x = 2\) ist Nullstelle

 

\[f(x) = 2x - 1 + \frac{c}{x}\]

 

Wert der Konstante \(c\) bestimmen:

Es muss \(f(2) = 0\) gelten.

 

\[\begin{align*} f(2) &= 0 \\[0.8em] 2 \cdot 2 - 1 + \frac{c}{2} &= 0 \\[0.8em] 3 + \frac{c}{2} &= 0 & &| - 3 \\[0.8em] \frac{c}{2} &= -3 & &| \cdot 2 \\[0.8em] c &= -6 \end{align*}\]

 

Funktionsterm der gebrochenrationalen Funktion \(f\) angeben:

 

\[f(x) = 2x - 1 - \frac{6}{x}\]