Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit \(p\) mithilfe eines geeigneten Terms.
(4 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 2b
\(W\,\): weibliche zum Casting eingeladene Person
\(M\,\): männliche zum Casting eingeladenen Person
Gegeben:
\[\vert W \vert = 20\,, \quad \vert M \vert = 10\,, \quad \vert \Omega \vert = 30\]
Jede der eingeladenen Personen kann höchstens einmal für die erste Gruppe ausgewählt werden.
\(\Longrightarrow \quad\) Urnenmodell: Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge
Urnenmodell: „Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge"
Werden aus einer Urne mit \(N\) Kugeln, von denen \(K\) Kugeln schwarz sind, \(n\) Kugeln mit einem Griff, d.h. ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge gezogen, so gilt für die Wahrscheinlichkeit, genau \(k\) schwarze Kugeln zu ziehen:
\[P(\text{„genau}\,k\,\text{schwarze Kugeln"}) = \frac{\displaystyle \binom{K}{k} \cdot \binom{N - K}{n - k}}{\displaystyle \binom{N}{n}}\]
(vgl. Merkhilfe)
Binomialkoeffizient
Der Binomialkoeffizient gibt an, wie viele Möglichkeiten es gibt, aus einer Menge mit \(n\) Elementen eine Teilmenge mit \(k\) Elementen zu bilden.
\[\binom{n}{k} = \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!} = \frac{n \cdot (n - 1) \cdot ... \cdot (n - k + 1)}{k!}\]
(vgl. Merkhilfe)
15 von 30 zum Casting eingeladene Personen werden für die erste Gruppe zufällig ausgewählt.
\(\Longrightarrow \quad\) Es gibt \(\displaystyle \binom{30}{15}\) Möglichkeiten, 15 von 30 Personen zufällig auszuwählen.
5 von 10 männlichen Personen sollen in die erste Gruppe gewählt werden.
\(\Longrightarrow \quad\) Es gibt \(\displaystyle \binom{10}{5}\) Möglichkeiten, 5 von 10 Personen auszuwählen.
10 von 20 weibliche Personen sollen in die erste Gruppe gewählt werden.
\(\Longrightarrow \quad\) Es gibt \(\displaystyle \binom{20}{10}\) Möglichkeiten, 10 von 20 Personen auszuwählen.
\[p = \frac{\displaystyle \binom{10}{5} \cdot \binom{20}{10}}{\displaystyle \binom{30}{15}} = \frac{252 \cdot 184 756}{155 117 520} = \frac{1001}{3335} = 0{,}30 = 30\,\%\]