Gegeben sind die in \(\mathbb R\) definierten Funktionen \(f\) und \(g\). Der Graph der Funktion \(f\) ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse und der Graph der Funktion \(g\) ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung.
Untersuchen Sie das Symmetrieverhalten des Graphen der Funktion \(h \colon x \mapsto f(x) \cdot \left[ g(x) \right]^4\) bezüglich des Koordinatensystems.
Da der Graph der Funktion \(\textcolor{#cc071e}{f}\) achsensymmetrisch zur \(\textcolor{#cc071e}{y}\)-Achse ist und der Graph der Funktion \(\textcolor{#0087c1}{g}\) punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung ist, folgt:
Symmetrie von Funktionsgraphen bzgl. des Koordinatensystems
Der Graph einer Funktion \(f\) ist
achsensymmetrisch bzgl. der \(\boldsymbol{y}\)-Achse,
wenn für alle \(x \in D_f\) gilt: \(f(-x) = f(x)\).
punktsymmetrisch bzgl. des Koordinatenursprungs,
wenn für alle \(x \in D_f\) gilt: \(f(-x) = -f(x)\)
\(\textcolor{#cc071e}{f(-x)} = \textcolor{#cc071e}{f(x)}\) und \(\textcolor{#0087c1}{g(-x)} = \textcolor{#0087c1}{-g(x)}\)
Untersuchen, ob \(h(-x) = h(x)\) oder \(h(-x) = -h(x)\) oder keine der beiden Beziehungen gilt.
\[h(x) = f(x) \cdot \left[ g(x) \right]^4, \; D_h = \mathbb R\]
\[\begin{align*}h(-x) &= \textcolor{#cc071e}{f(-x)} \cdot \left[ \textcolor{#0087c1}{g(-x)} \right]^4 &&| \;\textcolor{#cc071e}{f(-x)} = \textcolor{#cc071e}{f(x)}, \;\textcolor{#0087c1}{g(-x)} = \textcolor{#0087c1}{-g(x)} \\[0.8em] &= \textcolor{#cc071e}{f(x)} \cdot \left[ \textcolor{#0087c1}{-g(x)} \right]^4 \\[0.8em] &= f(x) \cdot \left[ g(x) \right]^4 \\[0.8em] &= h(x)\end{align*}\]
Somit ist der Graph der Funktion \(h\) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse.
