Geben Sie einen Term an, mit dem die Wahrscheinlichkeit dafür berechnet werden kann, dass jede Zahl mindestens einmal erzielt wird.
(3 BE)
Lösung zu Teilaufgabe b
Beispielsweise berechnet der Term
\[\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{4} \cdot \frac{1}{4} \cdot 4 \cdot \binom{5}{2}\]
die Wahrscheinlichkeit dafür, dass jede Zahl mindestens einmal erzielt wird.
Ausführliche Erklärung (nicht verlangt)
Wenn jede Zahl mindestens einmal erzielt wird, wird beim fünfmaligen Werfen des Tetraeders eine Zahl zweimal erzielt.
Angenommen, es wird z.B. das Ergebnis
\[(\textcolor{#e9b509}{1};\textcolor{#e9b509}{1};4;2;3)\]
erzielt.
Dann beträgt die Wahrscheinlichkeit für die erste und die zweite 1 jeweils \(\textcolor{#e9b509}{\dfrac{1}{4}}\).
Der dritte Wurf darf keine 1 sein, sondern eine 2, 3 oder 4. Dafür beträgt die Wahrscheinlichkeit \(\dfrac{3}{4}\).
Der vierte Wurf muss eine von den verbleibenden zwei noch nicht geworfenen Zahlen ergeben. Die Wahrscheinlichkeit dafür ist \(\dfrac{2}{4}\).
Der fünfte Wurf muss die eine bisher noch nicht erzielte Zahl zeigen. Dafür beträgt die Wahrscheinlichkeit \(\dfrac{1}{4}\).
Das Ergebnis \((\textcolor{#e9b509}{1};\textcolor{#e9b509}{1};4;2;3)\) wird also mit der Wahrscheinlichkeit
\[\textcolor{#e9b509}{\frac{1}{4}} \cdot \textcolor{#e9b509}{\frac{1}{4}} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{4} \cdot \frac{1}{4}\]
erzielt.
Nun gibt es noch 4 Möglichkeiten dafür, welche der Zahlen 1, 2, 3 oder 4 zweimal vorkommt.
Außerdem gibt es \(\displaystyle \textcolor{#0087c1}{\binom{5}{2}}\) Möglichkeiten dafür, wie die beiden gleichen Zahlen auf die fünf Würfe verteilt sein können.
Binomialkoeffizient
Der Binomialkoeffizient gibt an, wie viele Möglichkeiten es gibt, aus einer Menge mit \(n\) Elementen eine Teilmenge mit \(k\) Elementen zu bilden.
\[\binom{n}{k} = \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!} = \frac{n \cdot (n - 1) \cdot ... \cdot (n - k + 1)}{k!}\]
(vgl. Merkhilfe)
\[\left.\begin{align*} &(\textcolor{#e9b509}{1};\textcolor{#e9b509}{1};4;2;3) \\ &(\textcolor{#e9b509}{1};4;\textcolor{#e9b509}{1};2;3) \\ &(\textcolor{#e9b509}{1};4;2;\textcolor{#e9b509}{1};3) \\ &\qquad \enspace \vdots \\ &(4;2;3;\textcolor{#e9b509}{1};\textcolor{#e9b509}{1}) \end{align*} \right\} \; \textcolor{#0087c1}{\binom{5}{2}}\;\textcolor{#0087c1}{\text{Möglichkeiten}}\]
Somit berechnet der Term
\[\textcolor{#e9b509}{\frac{1}{4}} \cdot \textcolor{#e9b509}{\frac{1}{4}} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{4} \cdot \frac{1}{4} \cdot \textcolor{#cc071e}{4} \cdot \textcolor{#0087c1}{\binom{5}{2}}\]
die Wahrscheinlichkeit dafür, dass jede Zahl mindestens einmal erzielt wird.
