Abiturlösungen Mathematik Bayern 2011 G8 Analysis I Teil 2
Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto \sqrt{x + 3}\) mit Definitionsmenge \(D_f\). Abbildung 1 zeigt den Graphen \(G_f\) von \(f\), einen beliebigen Punkt \(Q(x|f(x))\) auf \(G_f\) sowie den Punkt \(P(1{,}5|0)\) auf der \(x\)-Achse.
Abb. 1
Begründen Sie, dass \(D_f = [-3;+\infty[\) die maximale Definitionsmenge von \(f\) ist. Wie geht \(G_f\) aus dem Graphen der in \(\mathbb R_0^+\) definierten Funktion \(w : x \mapsto \sqrt{x\;}\;\) hervor?
(2 BE)
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- Hauptkategorie: Analysis I
Zeigen Sie, dass für die Entfernung \(d(x)\) des Punktes \(Q(x|f(x))\) vom Punkt \(P(1{,}5|0)\) gilt: \(d(x) = \sqrt{x^2 - 2x + 5{,}25}\).
(4 BE)
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- Hauptkategorie: Analysis I
Bestimmen Sie rechnerisch die Koordinaten desjenigen Graphenpunkts \(Q_E(x_E|y_E)\), der von \(P\) den kleinsten Abstand hat. Tragen Sie \(Q_E\) in Abbildung 1 ein.
(zur Kontrolle: \(x_E = 1\))
(7 BE)
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- Hauptkategorie: Analysis I
Weisen Sie nach, dass die Verbindungsstrecke \([PQ_E]\) und die Tangente an \(G_f\) im Punkt \(Q_E\) senkrecht zueinander sind.
(5 BE)
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- Hauptkategorie: Analysis I
Berechnen Sie den Inhalt des Flächenstücks, das von \(G_f\), der \(x\)-Achse und der Strecke \([PQ_E]\) begrenzt wird.
(6 BE)
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- Hauptkategorie: Analysis I
Abbildung 2 zeigt den Graphen \(G_g\) einer in \(\mathbb R \backslash \{1\}\) definierten gebrochen-rationalen Funktion \(g\) mit folgenden Eigenschaften:
-
Die Funktion \(g\) hat in \(x = 1\) eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel;
-
\(G_g\) verläuft stets oberhalb seiner schrägen Asymptote, die durch die Gleichung \(y = \frac{1}{2}x - 1\) gegeben ist;
-
die einzige Nullstelle von \(g\) ist \(x = -1\).
Abb. 2
Ermitteln Sie mithilfe von Abbildung 2 näherungsweise den Wert der Ableitung \(g'\) von \(g\) an der Stelle \(x = -1\); veranschaulichen Sie Ihr Vorgehen durch geeignete Eintragungen in der Abbildung.
Aus der Gleichung der schrägen Asymptote ergibt sich unmittelbar das Verhalten der Ableitung \(g'\) für \(x \to +\infty\) und \(x \to -\infty\). Geben Sie dieses Verhalten an und skizzieren Sie den Graphen von \(g'\) in Abbildung 2.
(6 BE)
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- Hauptkategorie: Analysis I
Die Funktion \(g\) hat eine Funktionsgleichung der Form I, II oder III mit \(a \in \mathbb R \backslash \{0\}\):
\[\textsf{I}\enspace y = x - 1 + \frac{a}{(x - 1)^2}\]
\[\textsf{II}\enspace y = \frac{1}{2}x - 1 + \frac{a}{x - 1}\]
\[\textsf{III}\enspace y = \frac{1}{2}x - 1 + \frac{a}{(x - 1)^2}\]
Begründen Sie, dass weder eine Gleichung der Form I noch eine der Form II als Funktionsgleichung von \(g\) infrage kommt.
Die Funktionsgleichung von \(g\) hat also die Form III. Bestimmen Sie den passenden Wert von \(a\).
(5 BE)
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- Hauptkategorie: Analysis I
Betrachtet wird nun die Funktion \(h\) mit \(h(x) = \ln(g(x))\). Geben Sie mithilfe des Verlaufs von \(G_g\) die maximale Definitionsmenge \(D_h\) von \(h\), das Verhalten von \(h\) an den Grenzen von \(D_h\) sowie einen Näherungswert für die Nullstelle von \(h\) an.
(5 BE)
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- Hauptkategorie: Analysis I
2023 Christian Rieger・mathelike
