Innerhalb eines Jahres schwankt die CO₂-Konzentration. Für einen bestimmten Zeitraum von acht Monaten lassen sich die gemessenen Werte modellhaft durch die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(k \colon x \mapsto 3{,}3 \cdot \sin{\big( \frac{\pi}{6}x \big)} + 406\) beschreiben. Dabei ist \(x\) die in diesem Zeitraum vergangene Zeit in Monaten und \(k(x)\) die CO₂-Konzentration in ppm. Vereinfachend wird davon ausgegangen, dass jeder Monat 30 Tage hat.
Geben Sie an, wie der Graph von \(k\) schrittweise aus dem Graphen der in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(s \colon x \mapsto \sin{(x)}\) hervorgeht. Beurteilen Sie, ob die Reihenfolge der einzelnen Schritte von Bedeutung ist.
(5 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 2c
Schrittweise Entwicklung des Graphen von \(k\) aus dem Graphen von \(s\)
\[k(x) = 3{,}3 \cdot \sin{\left(\frac{\pi}{6}x\right)} + 406; \; D_k = \mathbb R\]
\[s(x) = \sin{x}; \; D_s = \mathbb R\]
Wie verändern die Parameter \(a\), \(b\), \(c\) und \(d\) den Graphen einer Funktion \(x \mapsto a \cdot f(b \cdot (x + c)) + d\) gegenüber dem Graphen einer Funktion \(x \mapsto f(x)\)?
Erst strecken oder spiegeln, dann verschieben!
Ein Vertauschen der Reihenfolge von Strecken und Verschieben bzw. Spiegel und Verschieben ergibt unterschiedliche Graphen und Funktionsterme.
Strecken in \(\boldsymbol{y}\)-Richtung mit dem Faktor \(\textcolor{#e9b509}{\boldsymbol{a}}\)
\(g(x) = \textcolor{#e9b509}{a} \cdot f(x)\) mit \(a \in \mathbb R\)
\(a < 0\) bewirkt zusätzlich eine Spiegelung an der \(x\)-Achse.
Strecken in \(\boldsymbol{x}\)-Richtung mit dem Faktor \(\textcolor{#e9b509}{\boldsymbol{\dfrac{1}{b}}}\)
\(h(x) = f(\textcolor{#e9b509}{b} \cdot x)\) mit \(b \in \mathbb R\)
\(b < 0\) bewirkt zusätzlich eine Spiegelung an der \(y\)-Achse.
Verschieben in \(\boldsymbol{y}\)-Richtung um \(\textcolor{#e9b509}{\boldsymbol{d}}\)
\(k(x) = f(x) + \textcolor{#e9b509}{d}\) mit \(d \in \mathbb R\)
Verschieben in \(\boldsymbol{x}\)-Richtung um \(\textcolor{#e9b509}{\boldsymbol{-c}}\)
\(l(x) = f(x + \textcolor{#e9b509}{c})\) mit \(c \in \mathbb R\)
Spiegelung an der \(\boldsymbol{x}\)-Achse
\[g(x) = -f{x}\]
Spiegelung an der \(\boldsymbol{y}\)-Achse
\[h(x) = f(-x)\]
Der Graph der Funktion \(k\) geht aus dem Graphen der Funktion \(s\) hervor durch
1. Streckung in \(x\)-Richtung mit dem Faktor \(\dfrac{1}{\frac{\pi}{6}} = \dfrac{6}{\pi}\)
\[x \mapsto \sin{\left( \frac{\pi}{6}x \right)}\]
2. Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(3{,}3\)
\[x \mapsto 3{,}3 \cdot \sin{\left( \frac{\pi}{6}x \right)}\]
3. Verschiebung in positive \(y\)-Richtung um \(406\)
\[k \colon x \mapsto 3{,}3 \cdot \sin{\left( \frac{\pi}{6}x \right)} + 406\]
Beurteilung der Reihenfolge der Schritte
Es gilt die Regel: Erst strecken oder spiegeln, dann verschieben!
Die Reihenfolge der Streckung in \(x\)-Richtung und der Streckung in \(y\)-Richtung lässt sich vertauschen. Kritisch ist die Verschiebung in \(y\)-Richtung. Wählt man die Verschiebung in \(y\)-Richtung vor der Streckung in \(y\)-Richtung, vervielfacht sich der Wert der Verschiebung um den Faktor der Streckung.
1. Verschiebung in positive \(y\)-Richtung um \(406\)
\[x \mapsto \sin{x} + 406\]
2. Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(3{,}3\)
\[x \mapsto 3{,}3 \cdot \left( \sin{x} + 406 \right)\]
\[x \mapsto 3{,}3 \cdot \sin{x} + \textcolor{#cc071e}{3{,}3 \cdot 406}\]
