Spiegelung eines Punktes an einer Ebene

Spiegelung des Punktes P an der Ebene E

Es sei \(F\) der Lotfußpunkt des Lotes des Punktes \(P\) auf die Ebene \(E\). Die Entstehung des Bildpunktes \(P'\), der durch Spiegelung des Punktes \(P\) an der Ebene \(E \colon \overrightarrow{n}_{E} \circ (\overrightarrow{X} - \overrightarrow{A}) = 0\) hervorgeht. lässt sich auf die Spiegelung des Punktes \(P\) am Lotfußpunkt \(F\) zurückführen (vgl. Abiturskript - 2.6.1 Spiegelung eines Punktes an einem Punkt).

 

\[\overrightarrow{P'} = \overrightarrow{P} + 2 \cdot \overrightarrow{PF}\]

oder

\[\overrightarrow{P'} = \overrightarrow{F} + \overrightarrow{PF}\]

 

Man bestimmt den Verbindungsvektor \(PF\) bzw. den Lotfußpunkt \(F\), indem man die Lotgerade \(\ell \colon \overrightarrow{X} = \overrightarrow{P} + \lambda \cdot \overrightarrow{n}_{E}; \; \lambda \in \mathbb R\) durch den Punkt \(P\) zur Ebene \(E\) aufstellt. Der Lotfußpunkt \(F\) ist der Schnittpunkt der Lotgerade \(\ell\) mit der Ebene \(E\) (vgl. Abiturskript - 2.3.4 Lotgeraden und orthogonale Ebenen, Lotgerade zu einer Ebene).

 

Der Verbindungsvektor \(\overrightarrow{PF}\) lässt sich in Abhängigkeit des Parameters \(\lambda\) der Gleichung der Lotgerade \(\ell\) beschreiben.

 

\[\ell \colon \overrightarrow{X} = \overrightarrow{P} + \lambda \cdot \overrightarrow{n}_{E}\,; \; \lambda \in \mathbb R\]

 

\[F \in \ell \colon \overrightarrow{F} = \overrightarrow{P} + \lambda \cdot \overrightarrow{n}_{E}\]

 

\[\overrightarrow{PF} = \overrightarrow{F} - \overrightarrow{P} = \overrightarrow{P} + \lambda \cdot \overrightarrow{n}_{E} - \overrightarrow{P} = \lambda \cdot \overrightarrow{n}_{E}\]

 

Schneidet man die Lotgerade \(\ell\) mit der Ebene \(E\), erhält man genau den Wert des Parameters \(\lambda\), der den Verbindungsvektor \(\overrightarrow{PF}\) festlegt (vgl. Abiturskript - 2.3.2 Lagebeziehung von Gerade und Ebene, Bestimmung des Schnittpunkts).

 

\[E \colon \overrightarrow{n}_{E} \circ (\overrightarrow{X} - \overrightarrow{A}) = 0\]

\[\ell \colon \overrightarrow{X} = \overrightarrow{P} + \lambda \cdot \overrightarrow{n}_{E}\,; \; \lambda \in \mathbb R\]

 

\[\ell \cap E \colon \overrightarrow{n}_{E} \circ (\overrightarrow{P} + \lambda \cdot \overrightarrow{n}_{E} - \overrightarrow{A}) = 0\]

 

\(\Longrightarrow \quad\)Parameterwert für \(\lambda\)

\(\Longrightarrow \quad\)Verbindungsvektor \(\overrightarrow{PF}\) und \(F \in \ell\)

 

Beispielaufgabe

Gegeben sei die Ebene \(E \colon x_{1} +2x_{2} + 4x_{3} - 20 = 0\) und der Punkt \(P(3|5|7)\).

Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes \(P'\), der durch Spiegelung des Punktes \(P\) an der Ebene \(E\) hervorgeht.

 

Spiegelung des Punktes P(3|5|7) an der Ebene E:x₁ + 2x₂ +4 x₃ - 20 = 0

Es sei \(F\) der Lotfußpunkt des Lotes des Punktes \(P\) auf die Ebene \(E\)

 

\[\overrightarrow{P'} = \overrightarrow{P} + 2 \cdot \overrightarrow{PF}\]

oder

\[\overrightarrow{P'} = \overrightarrow{F} + \overrightarrow{PF}\]

 

Gleichung der Lotgerade \(\ell\) formulieren (vgl. Abiturskript - 2.3.4 Lotgeraden und orthogonale Ebenen, Lotgerade zu einer Ebene):

 

\[P(3|5|7)\]

\[E \colon x_{1} +2x_{2} + 4x_{3} - 20 = 0 \quad \Longrightarrow \quad \overrightarrow{n}_{E} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}\]

 

\[\ell \colon \overrightarrow{X} = \overrightarrow{P} + \lambda \cdot \overrightarrow{n}_{E}; \; \lambda \in \mathbb R\]

\[\ell \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}; \; \lambda \in \mathbb R\]

 

Verbindungsvektor \(PF\) in Abhängigkeit des Parameters \(\lambda\) der Gleichung der Lotgerade \(\ell\) beschreiben:

 

\[P(3|5|7)\]

 

\[F \in \ell \colon \overrightarrow{F} = \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 + \lambda \\ 5 + 2\lambda \\ 7 + 4\lambda \end{pmatrix}\]

 

\[\overrightarrow{PF} = \overrightarrow{F} - \overrightarrow{P} = \begin{pmatrix} 3 + \lambda \\ 5 + 2\lambda \\ 7 + 4\lambda \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \lambda \\ 2\lambda \\ 4\lambda \end{pmatrix} = \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}\]

 

Lotgerade \(\ell\) mit der Ebene \(E\) schneiden (vgl. Abiturskript - 2.3.2 Lagebeziehung von Gerade und Ebene, Bestimmung des Schnittpunkts):

 

\[\ell \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}; \; \lambda \in \mathbb R\]

\[E \colon x_{1} +2x_{2} + 4x_{3} - 20 = 0\]

 

\[\begin{align*} \ell \cap E \colon 3 + \lambda + 2 \cdot (5 + 2\lambda) + 4 \cdot (7 + 4\lambda) - 20 &= 0 \\[0.8em] 3 + \lambda + 10 + 4\lambda + 28 + 16\lambda - 20 &= 0 \\[0.8em] 21\lambda + 21 &= 0 & &| - 21 \\[0.8em] 21\lambda &= -21 & &| : 21 \\[0.8em] \lambda &= -1 \end{align*}\]

 

Verbindungsvektor \(PF\) und ggf. Ortsvektor \(\overrightarrow{F}\) berechnen:

 

\[\overrightarrow{PF} = \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} = (-1) \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ -4 \end{pmatrix}\]

\[F \in \ell \colon \overrightarrow{F} = \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix} + (-1) \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}\]

 

Koordinaten des Punktes \(P'\) berechnen:

 

\[\overrightarrow{P'} = \overrightarrow{P} + 2 \cdot \overrightarrow{PF} = \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}\]

oder

\[\overrightarrow{P'} = \overrightarrow{F} + \overrightarrow{PF} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}\]

 

\[\Longrightarrow \quad P'(1|1|-1)\]