Betrachtet wird die Schar der in \(\mathbb R\) definierten Funktionen \(g_{k} \colon x \mapsto kx^{3} + 3 \cdot (k + 1)x^{2} + 9x\) mit \(k \in \mathbb R \backslash \{0\}\) und den zugehörigen Graphen \(G_{k}\). Für jedes \(k\) besitzt der Graph \(G_{k}\) genau einen Wendepunkt \(W_{k}\).
Geben Sie das Verhalten von \(g_{k}\) an den Grenzen des Definitionsbereichs in Abhängigkeit von \(k\) an.
(2 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 3a
\[g_{k}(x) = kx^{3} + 3 \cdot (k + 1)x^{2} + 9x; \; k \in \mathbb R \backslash \{0\}\]
Die ganzrationale Funktionenschar \(g_{k}\) ist in \(\mathbb R\) definiert \((D_{g_{k}} = \mathbb R = \; ]-\infty;+\infty[)\).
Der Term \(kx^{3}\) (höchste Potenz mit Leitkoeffizient \(k\)) bestimmt bei der ganzrationalen Funktionenschar \(g_{k}\) das Verhalten im Unendlichen.
Es ergibt sich folgende Fallunterscheidung:
Für \(\textcolor{#cc071e}{k < 0}\) gilt:
\[\lim \limits_{x\,\to\,-\infty} g_{k}(x) = \lim \limits_{x\,\to\,-\infty} \textcolor{#cc071e}{k}\underbrace{x^{3}}_{\to\,-\infty} = +\infty\]
\[\lim \limits_{x\,\to\,+\infty} g_{k}(x) = \lim \limits_{x\,\to\,+\infty} \textcolor{#cc071e}{k}\underbrace{x^{3}}_{\to\,+\infty} = -\infty\]
Für \(\textcolor{#0087c1}{k > 0}\) gilt:
\[\lim \limits_{x\,\to\,-\infty} g_{k}(x) = \lim \limits_{x\,\to\,-\infty} \textcolor{#0087c1}{k}\underbrace{x^{3}}_{\to\,-\infty} = -\infty\]
\[\lim \limits_{x\,\to\,+\infty} g_{k}(x) = \lim \limits_{x\,\to\,+\infty} \textcolor{#0087c1}{k}\underbrace{x^{3}}_{\to\,+\infty} = +\infty\]
