Um die Wirksamkeit eines Pflanzenschutzmittels gegen Pilzbefall nachzuweisen, wurden zahlreiche Versuche durchgeführt, bei denen landwirtschaftliche Nutzpflanzen zunächst mit dem Pflanzenschutzmittel behandelt und anschließend mit Pilzsporen besprüht wurden. Im Mittel sind dabei 5 % der Pflanzen von Pilzen befallen worden.
Bei einem weiteren solchen Versuch mit \(n\) Pflanzen beschreibt die Zufallsgröße \(X_n\) die Anzahl der Pflanzen, die von Pilzen befallen werden. Im Folgenden soll davon ausgegangen werden, dass \(X_n\) binomialverteilt ist mit den Parametern \(n\) und \(p = 0{,}05\).
Es werden 15 Pflanzen mit dem Pflanzenschutzmittel behandelt und anschließend mit Pilzsporen besprüht. Bestimmen Sie jeweils die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse:
\(E_1\): „Keine der Pflanzen wird von Pilzen befallen."
\(E_2\): „Höchstens zwei Pflanzen werden von Pilzen befallen."
\(E_3\): „12 oder 13 Pflanzen bleiben ohne Pilzbefall."
(6 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 1a
\(X_{15}\): Anzahl der Pflanzen, die von Pilzen befallen werden.
Die Zufalsgröße \(X_{15}\) ist nach \(B(\textcolor{#0087c1}{15};\textcolor{#cc071e}{0{,}05})\) binomialverteilt.
Binomialverteilte Zufallsgröße
Für eine Zufallsgröße \(X\), welche bei einer Bernoulli-Kette der Länge \(n\) die Anzahl der Treffer \(k \in \{0,1,\dots,n\}\) mit der Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) angibt, gilt:
Binomialverteilung (vgl. Merkhilfe)
\[P_{p}^{n}(X = k) = B(n;p;k) = \binom{n}{k} \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{n - k} \quad (0 \leq k \leq n)\]
Eine Binomialverteilung ist durch die Parameter \(n\) und \(p\) eindeutig bestimmt und wird durch das Symbol \(B(n:p)\) gekennzeichnet. \(X\) heißt binomialverteilt nach \(B(n;p)\).
Voraussetzung für eine Binomialverteilung
Ein Zufallsexperiment, bei dem nur zwei sich gegenseitig ausschließende Ereignisse \(A\) und \(\overline{A}\) mit konstanten Wahrscheinlichkeiten eintreten können (Bernoulli-Experiment).
Wahrscheinlichkeit des Ereignisses \(E_1\)
\(E_1\): „Keine der Pflanzen wird von Pilzen befallen."
Entweder mithilfe des Stochastischen Tafelwerks (ST):
\(\textcolor{#cc071e}{p = 0{,}05}\), \(\textcolor{#0087c1}{n = 15}\), \(\textcolor{#e9b509}{k = 0}\)
\[\begin{align*}P(E_1) &= P_{\textcolor{#cc071e}{0{,}05}}^{\textcolor{#0087c1}{15}}(X_{15} = \textcolor{#e9b509}{0}) \\[0.8em] &= B(\textcolor{#0087c1}{15};\textcolor{#cc071e}{0{,}05};\textcolor{#e9b509}{0}) &&| \; \text{linke Spalte im ST} \\[0.8em] &\overset{\text{ST}}{=} 0{,}46329 \approx 46{,}3\,\%\end{align*}\]
Oder mithilfe der Formel \(\displaystyle P_p^n(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k}\) (vgl. Merkhilfe):
\[\begin{align*}P(E_1) &= P_{\textcolor{#cc071e}{0{,}05}}^{\textcolor{#0087c1}{15}}(X_{15} = \textcolor{#e9b509}{0}) \\[0.8em] &= \binom{\textcolor{#0087c1}{15}}{\textcolor{#e9b509}{0}} \cdot \textcolor{#cc071e}{0{,}05}^{\textcolor{#e9b509}{0}} \cdot (1 - \textcolor{#cc071e}{0{,}05})^{\textcolor{#0087c1}{15} - \textcolor{#e9b509}{0}} &&| \; \binom{n}{0} = 1; \; a^0 = 1 \\[0.8em] &= 0{,}95^{15} \approx 0{,}463 = 46{,}3\,\% \end{align*}\]
Wahrscheinlichkeit des Ereignisses \(E_2\)
\(E_2\): „Höchstens zwei Pflanzen werden von Pilzen befallen."
Mithilfe des Stochastischen Tafelwerks (ST) ergibt sich:
\(\textcolor{#cc071e}{p = 0{,}05}\), \(\textcolor{#0087c1}{n = 15}\), \(\textcolor{#e9b509}{k \leq 2}\)
Kumulative Verteilungsfunktion einer nach \(B(n, p)\) binomialverteilten Zufallsgröße \(X\)
\[F^n_p (k) = P^n_p (X \leq k) = \sum_{i \, = \, 0}^k B(n; p; i) = \sum_{i \, = \, 0}^k \binom{n}{i} \cdot p^i \cdot (1 - p)^{n - i}\]
Wobei \(n\) die Länge der Bernoullikette, \(p\) die Trefferwahrscheinlichkeit für das Eintreten des betrachteten Ereignisses und \(k \in \{0,1,\dots,n\}\) die Anzahl der Treffer ist.
Das Stochastische Tafelwerk (ST) listet die Werte der Kumulativen Verteilungsfunktion jeweils in der rechten Spalte einer betrachteten Tabelle der Parameter \(n\) und \(p\).
\[\begin{align*}P(E_2) &= P_{\textcolor{#cc071e}{0{,}05}}^{\textcolor{#0087c1}{15}}(X_{15} \textcolor{#e9b509}{\leq 2}) \\[0.8em] &= \sum \limits_{\textcolor{#e9b509}{0}}^{\textcolor{#e9b509}{k = 2}}B(\textcolor{#0087c1}{15};\textcolor{#cc071e}{0{,}05};i) &&|\; \text{rechte Spalte im ST} \\[0.8em] &\overset{\text{ST}}{=} 0{,}96380 \approx 96{,}4\,\%\end{align*}\]
Wahrscheinlichkeit des Ereignisses \(E_3\)
\(E_3\): „12 oder 13 Pflanzen bleiben ohne Pilzbefall."
Das Ereignis \(E_3\) ist gleichbedeutend mit dem Ereignis „2 oder 3 Pflanzen werden von Pilzen befallen."
Mithilfe des Stochastischen Tafelwerks (ST) ergibt sich:
\(\textcolor{#cc071e}{p = 0{,}05}\), \(\textcolor{#0087c1}{n = 15}\), \(\textcolor{#e9b509}{k = 2}\), \(\textcolor{#e9b509}{k = 3}\)
\[\begin{align*} P(E_3) &= P_{\textcolor{#cc071e}{0{,}05}}^{\textcolor{#0087c1}{15}}(X_{15} = \textcolor{#e9b509}{2}) + P_{\textcolor{#cc071e}{0{,}05}}^{\textcolor{#0087c1}{15}}(X_{15} = \textcolor{#e9b509}{3}) \\[0.8em] &= B(\textcolor{#0087c1}{15};\textcolor{#cc071e}{0{,}05};\textcolor{#e9b509}{2}) + B(\textcolor{#0087c1}{15};\textcolor{#cc071e}{0{,}05};\textcolor{#e9b509}{3}) &&| \; \text{linke Spalte im ST} \\[0.8em] &\overset{\text{ST}}{=} 0{,}13475 + 0{,}03073 \\[0.8em] &= 0{,}16548 \approx 16{,}5\,\% \end{align*}\]
