Abiturlösungen Mathematik Bayern 2022

Aufgaben mit ausführlichen Lösungen

Um die Wirksamkeit eines Pflanzenschutzmittels gegen Pilzbefall nachzuweisen, wurden zahlreiche Versuche durchgeführt, bei denen landwirtschaftliche Nutzpflanzen zunächst mit dem Pflanzenschutzmittel behandelt und anschließend mit Pilzsporen besprüht wurden. Im Mittel sind dabei 5 % der Pflanzen von Pilzen befallen worden.

Bei einem weiteren solchen Versuch mit \(n\) Pflanzen beschreibt die Zufallsgröße \(X_n\) die Anzahl der Pflanzen, die von Pilzen befallen werden. Im Folgenden soll davon ausgegangen werden, dass \(X_n\) binomialverteilt ist mit den Parametern \(n\) und \(p = 0{,}05\).

Es werden 15 Pflanzen mit dem Pflanzenschutzmittel behandelt und anschließend mit Pilzsporen besprüht. Bestimmen Sie jeweils die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse:

\(E_1\): „Keine der Pflanzen wird von Pilzen befallen."

\(E_2\): „Höchstens zwei Pflanzen werden von Pilzen befallen."

\(E_3\): „12 oder 13 Pflanzen bleiben ohne Pilzbefall."

(6 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1a

 

\(X_{15}\): Anzahl der Pflanzen, die von Pilzen befallen werden.

Die Zufalsgröße \(X_{15}\) ist nach \(B(\textcolor{#0087c1}{15};\textcolor{#cc071e}{0{,}05})\) binomialverteilt.

Binomialverteilte Zufallsgröße - Binomialverteilung

Binomialverteilte Zufallsgröße

Für eine Zufallsgröße \(X\), welche bei einer Bernoulli-Kette der Länge \(n\) die Anzahl der Treffer \(k \in \{0,1,\dots,n\}\) mit der Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) angibt, gilt:

Binomialverteilung (vgl. Merkhilfe)

\[P_{p}^{n}(X = k) = B(n;p;k) = \binom{n}{k} \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{n - k} \quad (0 \leq k \leq n)\]

Eine Binomialverteilung ist durch die Parameter \(n\) und \(p\) eindeutig bestimmt und wird durch das Symbol \(B(n:p)\) gekennzeichnet. \(X\) heißt binomialverteilt nach \(B(n;p)\).

Voraussetzung für eine Binomialverteilung

Ein Zufallsexperiment, bei dem nur zwei sich gegenseitig ausschließende Ereignisse \(A\) und \(\overline{A}\) mit konstanten Wahrscheinlichkeiten eintreten können (Bernoulli-Experiment).

Wahrscheinlichkeit des Ereignisses \(E_1\)

\(E_1\): „Keine der Pflanzen wird von Pilzen befallen."

 

Entweder mithilfe des Stochastischen Tafelwerks (ST):

\(\textcolor{#cc071e}{p = 0{,}05}\), \(\textcolor{#0087c1}{n = 15}\), \(\textcolor{#e9b509}{k = 0}\)

 

\[\begin{align*}P(E_1) &= P_{\textcolor{#cc071e}{0{,}05}}^{\textcolor{#0087c1}{15}}(X_{15} = \textcolor{#e9b509}{0}) \\[0.8em] &= B(\textcolor{#0087c1}{15};\textcolor{#cc071e}{0{,}05};\textcolor{#e9b509}{0}) &&| \; \text{linke Spalte im ST} \\[0.8em] &\overset{\text{ST}}{=} 0{,}46329 \approx 46{,}3\,\%\end{align*}\]

 

Oder mithilfe der Formel \(\displaystyle P_p^n(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k}\) (vgl. Merkhilfe):

 

\[\begin{align*}P(E_1) &= P_{\textcolor{#cc071e}{0{,}05}}^{\textcolor{#0087c1}{15}}(X_{15} = \textcolor{#e9b509}{0}) \\[0.8em] &= \binom{\textcolor{#0087c1}{15}}{\textcolor{#e9b509}{0}} \cdot \textcolor{#cc071e}{0{,}05}^{\textcolor{#e9b509}{0}} \cdot (1 - \textcolor{#cc071e}{0{,}05})^{\textcolor{#0087c1}{15} - \textcolor{#e9b509}{0}} &&| \; \binom{n}{0} = 1; \; a^0 = 1 \\[0.8em] &= 0{,}95^{15} \approx 0{,}463 = 46{,}3\,\% \end{align*}\]

 

Wahrscheinlichkeit des Ereignisses \(E_2\)

\(E_2\): „Höchstens zwei Pflanzen werden von Pilzen befallen."

 

Mithilfe des Stochastischen Tafelwerks (ST) ergibt sich:

\(\textcolor{#cc071e}{p = 0{,}05}\), \(\textcolor{#0087c1}{n = 15}\), \(\textcolor{#e9b509}{k \leq 2}\)

Kumulative Verteilungsfunktion einer binomialverteilten Zufallsgröße

Kumulative Verteilungsfunktion einer nach \(B(n, p)\) binomialverteilten Zufallsgröße \(X\)

\[F^n_p (k) = P^n_p (X \leq k) = \sum_{i \, = \, 0}^k B(n; p; i) = \sum_{i \, = \, 0}^k \binom{n}{i} \cdot p^i \cdot (1 - p)^{n - i}\]

Wobei \(n\) die Länge der Bernoullikette, \(p\) die Trefferwahrscheinlichkeit für das Eintreten des betrachteten Ereignisses und \(k \in \{0,1,\dots,n\}\) die Anzahl der Treffer ist.

Das Stochastische Tafelwerk (ST) listet die Werte der Kumulativen Verteilungsfunktion jeweils in der rechten Spalte einer betrachteten Tabelle der Parameter \(n\) und \(p\). 

\[\begin{align*}P(E_2) &= P_{\textcolor{#cc071e}{0{,}05}}^{\textcolor{#0087c1}{15}}(X_{15} \textcolor{#e9b509}{\leq 2}) \\[0.8em] &= \sum \limits_{\textcolor{#e9b509}{0}}^{\textcolor{#e9b509}{k = 2}}B(\textcolor{#0087c1}{15};\textcolor{#cc071e}{0{,}05};i) &&|\; \text{rechte Spalte im ST} \\[0.8em] &\overset{\text{ST}}{=} 0{,}96380 \approx 96{,}4\,\%\end{align*}\]

 

Wahrscheinlichkeit des Ereignisses \(E_3\)

\(E_3\): „12 oder 13 Pflanzen bleiben ohne Pilzbefall."

Das Ereignis \(E_3\) ist gleichbedeutend mit dem Ereignis „2 oder 3 Pflanzen werden von Pilzen befallen."

 

Mithilfe des Stochastischen Tafelwerks (ST) ergibt sich:

\(\textcolor{#cc071e}{p = 0{,}05}\), \(\textcolor{#0087c1}{n = 15}\), \(\textcolor{#e9b509}{k = 2}\), \(\textcolor{#e9b509}{k = 3}\)

 

\[\begin{align*} P(E_3) &= P_{\textcolor{#cc071e}{0{,}05}}^{\textcolor{#0087c1}{15}}(X_{15} = \textcolor{#e9b509}{2}) + P_{\textcolor{#cc071e}{0{,}05}}^{\textcolor{#0087c1}{15}}(X_{15} = \textcolor{#e9b509}{3}) \\[0.8em] &= B(\textcolor{#0087c1}{15};\textcolor{#cc071e}{0{,}05};\textcolor{#e9b509}{2}) + B(\textcolor{#0087c1}{15};\textcolor{#cc071e}{0{,}05};\textcolor{#e9b509}{3}) &&| \; \text{linke Spalte im ST} \\[0.8em] &\overset{\text{ST}}{=} 0{,}13475 + 0{,}03073 \\[0.8em] &= 0{,}16548 \approx 16{,}5\,\% \end{align*}\]