Gegeben ist eine in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(h \colon x \mapsto ax^{2} + c\) mit \(a, c \in \mathbb R\), deren Graph im Punkt \(N(1|0)\) die Tangente mit der Gleichung \(y = -x + 1\) besitzt. Bestimmen Sie \(a\) und \(c\).

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 3b

 

\[h(x) = ax^{2} + c; \; D_{h} = \mathbb R\]

Tangente \(y = -x + 1\) an \(G_{h}\) im Punkt \(N(1|0)\)

 

Der Graph der Funktion \(h\) verläuft durch den Punkt \(N(\textcolor{#e9b509}{1}|\textcolor{#e9b509}{0})\). Somit gilt:

 

\[\begin{align*} h(\textcolor{#e9b509}{1}) &= \textcolor{#e9b509}{0} \\[0.8em] a \cdot \textcolor{#e9b509}{1}^{2} + c &= \textcolor{#e9b509}{0} \\[0.8em] a + c &= 0 &&\text{(I)} \end{align*}\]

 

Der Gleichung der Tangente \(y = \textcolor{#cc071e}{-}x + 1\) ist die Tangentensteigung \(\textcolor{#cc071e}{m} = \textcolor{#cc071e}{-1}\) zu entnehmen. Deshalb gilt:

Tangentensteigung

Anwendung der Differetialrechnung:

Steigung \(m_{T}\) einer Tangente \(T\) an den Graphen einer Funktion \(f\) im Punkt \(P\,(\,x_0\,|\,f(x_0)\,)\)

\[m_{T} = f'(x_0)\]

(vgl. Merkhilfe)

\[\textcolor{#cc071e}{m} = h'(\textcolor{#e9b509}{1}) = \textcolor{#cc071e}{-1}\]

Erste Ableitung elementarer Funktionen und Ableitungsregeln

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Ableitungen der Grundfunktionen

\[c' = 0 \enspace (c \in \mathbb R)\]

\[\left( x^r \right)' = r \cdot x^{r - 1} \enspace (r \in \mathbb R)\]

\[\left( \sqrt{x} \right)' = \frac{1}{2\sqrt{x}}\]

\[\left( \sin{x} \right)' = \cos{x}\]

\[\left( \cos{x} \right)' = -\sin{x}\]

 

\[\left( \ln{x} \right)' = \frac{1}{x}\]

\[\left( \log_{a}{x}\right)' = \frac{1}{x \cdot \ln{a}}\]

\[\left( e^x \right)' = e^x\]

\[\left(a^x \right)' = a^x \cdot \ln{a}\]

vgl. Merkhilfe

Faktorregel

\[\begin{align*}f(x) &= a \cdot \textcolor{#0087c1}{u(x)} \\[0.8em] f'(x) &= a \cdot \textcolor{#0087c1}{u'(x)}\end{align*}\]

Summenregel

\[\begin{align*}f(x) &= \textcolor{#0087c1}{u(x)} + \textcolor{#cc071e}{v(x)} \\[0.8em] f'(x) &= \textcolor{#0087c1}{u'(x)} + \textcolor{#cc071e}{v'(x)}\end{align*}\]

Produktregel

\[\begin{align*}f(x) &= \textcolor{#0087c1}{u(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v(x)} \\[0.8em] f'(x) &= \textcolor{#0087c1}{u'(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v(x)} + \textcolor{#0087c1}{u(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v'(x)}\end{align*}\]

 

Quotientenregel

\[\begin{align*}f(x) &= \dfrac{\textcolor{#0087c1}{u(x)}}{\textcolor{#cc071e}{v(x)}} \\[0.8em] f'(x) &= \dfrac{\textcolor{#0087c1}{u'(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v(x)} - \textcolor{#0087c1}{u(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v'(x)}}{[\textcolor{#cc071e}{v(x)}]^{2}}\end{align*}\]

Kettenregel

\[\begin{align*}f(x) &= \textcolor{#0087c1}{u(}\textcolor{#cc071e}{v(x)}\textcolor{#0087c1}{)} \\[0.8em] f'(x) &= \textcolor{#0087c1}{u'(}\textcolor{#cc071e}{v(x)}\textcolor{#0087c1}{)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v'(x)}\end{align*}\]

vgl. Merkhilfe

Die erste Ableitung von \(h(x) = ax^{2} + c\) ist \(h'(x) = a \cdot 2x\) und damit folgt:

 

\[\begin{align*}h'(\textcolor{#e9b509}{1}) &= \textcolor{#cc071e}{-1} &&| \; h'(x) = a \cdot 2x \\[0.8em] a \cdot 2 \cdot \textcolor{#e9b509}{1} &= \textcolor{#cc071e}{-1} \\[0.8em] 2a &= -1 &&| : 2 \\[0.8em] a &= -\frac{1}{2} \end{align*}\]

 

\[a = -\frac{1}{2}\;\text{in I}\colon \; -\frac{1}{2} + c = 0 \enspace \Leftrightarrow \enspace c = \frac{1}{2}\]