Abiturlösungen Mathematik Bayern 2021

Aufgaben mit ausführlichen Lösungen
2.3.2 Lagebeziehung von Gerade und ...
2.3.2 Lagebeziehung von Gerade und Ebene

Die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(F\) ist diejenige Stammfunktion von \(f\), deren Graph durch den Punkt \(T(-1|2)\) verläuft.

Begründen Sie mithilfe der Abbildung, dass der Graph von \(F\) im Punkt \(T\) einen Tiefpunkt besitzt.

(2 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1d

 

Einfache Nullstelle mit Vorzeichenwechsel x = -1 des Graphen der Funktion  f, Tiefpunkt T(-1|2) des Graphen der Stammfunktion F

Gemäß der Definition einer Stammfunktion gilt \(F'(x) = f(x)\).

Stammfunktion

Stammfunktion

Eine differenzierbare Funktion \(F(x)\) heißt eine Stammfunktion von \(f(x)\), wenn

\(F'(x) = f(x)\) mit \(D_{F} = D_{f}\)

gilt.

Da \(G_{f}\) die einfache Nullstelle \(\boldsymbol{x = -1}\) mit Vorzeichenwechsel von \(\textcolor{#cc071e}{\Large{\textbf{-}}}\) nach \(\textcolor{#0087c1}{\textbf{+}}\) besitzt, ist der Punkt \(\textcolor{#e9bf09}{T(-1|2)}\) ein Tiefpunkt des Graphen der Stammfunktion \(\textcolor{#e9b509}{F}\) (Eintragungen in die Abbildung optional).

 

Ergänzende Erklärung (nicht verlangt)

Mit \(f(-1) = \boldsymbol{F'(-1) = 0}\) beutet die Nullstelle \(x = -1\) von \(G_{f}\), dass der Graph der Stammfunktion \(\textcolor{#e9b509}{F}\) an der Stelle \(x = -1\) eine waagrechte Tangente hat.

Tangentensteigung

Anwendung der Differetialrechnung:

Steigung \(m_{T}\) einer Tangente \(T\) an den Graphen einer Funktion \(f\) im Punkt \(P\,(\,x_0\,|\,f(x_0)\,)\)

\[m_{T} = f'(x_0)\]

(vgl. Merkhilfe)

Der Vorzeichenwechsel von \(\boldsymbol{G_{f}}\) an der Nullstelle \(\boldsymbol{x = -1}\) von \(\textcolor{#cc071e}{\Large{\textbf{-}}}\) nach \(\textcolor{#0087c1}{\textbf{+}}\) bedeutet nach dem Monotoniekriterium, dass der Graph der Stammfunktion \(\textcolor{#e9b509}{F}\) an der Stelle \(x = -1\) das Monotonieverhalten von streng monoton fallend  zu streng monoton steigend wechselt.

Monotoniekriterium

Anwendung der Differetialrechnung:

Monotoniekriterium

\(f'(x) < 0\) im Intervall \( I \quad \Longrightarrow \quad G_{f}\) fällt streng monoton in \(I\)

\(f'(x) > 0\) im Intervall \( I \quad \Longrightarrow \quad G_{f}\) steigt streng monoton in \(I\)

(vgl. Merkhilfe)

Also ist \(\textcolor{#e9b509}{T(-1|2)}\) ein Tiefpunkt des Graphen der Stammfunktion \(\textcolor{#e9b509}{F}\).

Extrempunkte

Anwendung der Differentialrechnung:

Extrempunkte

Ist \(f'(x_{0}) = 0\) und wechselt \(f'\) an der Stelle \(x_{0}\) das Vorzeichen, so hat \(G_{f}\) an der Stelle \(x_{0}\) einen Extrempunkt.

(vgl. Merkhilfe)

\[\left. \begin{align*} &\textcolor{#cc071e}{f(x) = F'(x) < 0} \enspace \text{für} \enspace x < -1 \\ &f(-1) = F'(-1) = 0 \\ &\textcolor{#0087c1}{f(x) = F'(x) > 0} \enspace \text{für} \enspace x > -1 \end{align*} \right \} \enspace \Rightarrow \enspace \textcolor{#e9b509}{\text{Tiefpunkt} \; T\,(-1|2)}\]