Ermitteln Sie die Werte von \(a\) und \(b\).

(5 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 2e

Mögliche Vorgehensweise

Aus Gleichung (1) ergibt sich:

\[\begin{align*}\textsf{(1)} \enspace \frac{a}{b+1} &= 20 &&| \cdot (b+1) \\[0.8em] a &= 20 \cdot (b+1) \\[0.8em] a &= 20b + 20\end{align*}\]

Aus den Gleichungen (1) und (2) folgt:

\[\begin{align*}20 &< 45 \\[0.8em] \frac{a}{b+1} &<  \frac{a}{b+e^{cx}} &&| \cdot (b+1) \cdot (b+e^{cx}) \\[0.8em] a \cdot (b + e^{cx}) &< a \cdot (b+1) &&| : a\; (a \in \mathbb R^+) \\[0.8em]  b + e^{cx} &< b+1 &&| -b \\[0.8em] e^{cx} &< 1 &&| \ln \; \text{(Logarithmieren)}, \; \ln{e^x} = x, \; \ln{1} = 0 \\[0.8em] cx &< 0 &&| \; x \geq 0 \\[0.8em] \Rightarrow \; c &< 0\end{align*}\]

Auch ohne diese Rechnung folgt aus Gleichung (1) und (2), dass für ein Wachstum des Seeadlerbestands \(c < 0\) gelten muss. Denn für \(c = 0\) ergibt sich eine konstante Funktion \(w_{a;b;0}(x) = \dfrac{a}{b+1}\) (vgl. Teilaufgabe 2a) und für \(c > 0\) gilt \(\lim \limits_{x\,\to\,+\infty}\dfrac{a}{b+\textcolor{#cc071e}{\underset{\to\,+\infty}{e^{cx}}}} = 0\).

Mit \(c < 0\) folgt aus Gleichung (2):

\[\textsf{(2)}\enspace \lim \limits_{x\,\to\,+\infty} \frac{a}{b+\textcolor{#0087c1}{\underset{\to\,0}{e^{cx}}}} = \frac{a}{b} = 45 \; \Leftrightarrow \; a = 45b\]

\(a = 45b\) eingesetzt in Gleichung (1) ergibt:

\[\begin{align*}45b &= 20b + 20 &&| -20b \\[0.8em] 25b &= 20 &&| : 25 \\[0.8em] b &= \frac{4}{5} \end{align*}\]

\(b = \dfrac{4}{5}\) eingesetzt in Gleichung (2) ergibt:

\[a = 45 \cdot \frac{4}{5} = 36\]