Begründen Sie, dass \(h\) umkehrbar ist, und beschreiben Sie, wie der Graph der Umkehrfunktion \(h^{-1}\) von \(h\) aus dem Graphen von \(h\) hervorgeht. Geben Sie den Definitions- und den Wertebereich von \(h^{-1}\) an.
(4 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 3b
\[h(x) = \sqrt{x+3}-2; \;D_{h} = [-3;+\infty[\]
Begründung, dass \(h\) umkehrbar ist
Aus Teilaufgabe a ist bekannt, dass der Graph der Funktion \(h\) durch Verschiebung aus dem Graphen der Funktion \(w\) hervorgeht. Damit ist die Funktion \(h\) ebenso wie die Funktion \(w\) streng monoton zunehmend und deshalb umkehrbar.
Kriterien für die Umkehrbarkeit einer Funktion
Eine Funktion \(f\,\colon\,\mapsto f(x)\) mit der Definitionsmenge \(D_{f}\) und der Wertemenge \(W_{f}\) heißt umkehrbar, falls es zu jedem \(y \in W_{f}\) genau ein \(x \in D_{f}\) mit \(f(x) = y\) gibt.
Ist eine Funktion auf Ihrer Definitionsmenge oder einer Teilmenge streng monoton (steigend oder fallend), so ist sie dort umkehrbar.
Entstehung des Graphen der Umkehrfunktion \(h^{-1}\) von \(h\)
Der Graph der Umkehrfunktion \(h^{-1}\) geht durch Spiegelung des Graphen der Funktion \(h\) an der Winkelhalbierenden des I. und III. Quadranten mit der Gleichung \(y = x\) hervor.
Umkehrfunktion \(\boldsymbol{f^{-1}}\) einer Funktion \(\boldsymbol{f}\)
Bestimmung des Funktionsterms \(\boldsymbol{f^{-1}(x)}\)
1. Funktionsgleichung \(\,y = f(x)\,\) nach \(\,x\,\) auflösen
2. Variablen tauschen: \(\;x \longleftrightarrow y \quad \Longrightarrow \quad y = f^{-1}(x)\)
Es gilt: \(\;D_{f^{-1}} = W_f\;\) und \(\; W_{f^{-1}} = D_f\)
Graph der Umkehrfunktion
Die Graphen einer Funktion und ihrer Umkehrfunktion sind zueinander symmetrisch bzgl. der Winkelhalbierenden des I. und III. Quadranten mit der Gleichung \(y = x\).
Definitions- und Wertebereich von \(h^{-1}\)
Der Definitionsbereich von \(h^{-1}\) ist der Wertebereich von \(h\) und der Wertebereich von \(h^{-1}\) ist der Definitionsbereich von \(h\).
Der Wertebereich der Funktion \(w \colon x \mapsto \sqrt{x}\) ist \(W_w = [0;+\infty[\). Da der Graph von \(h\) gegenüber dem Graphen von \(w\) um 2 LE in negative \(y\)-Richtung verschoben ist, ergibt sich der Weteberich von \(h\) zu \(W_h = [-2;+\infty[\) (vgl. Teilaufgabe 3a).
\[D_{h^{-1}} = W_h = [-2;+\infty[\]
\[W_{h^{-1}} = D_h = [-3;+\infty[\]
Anmerkung
Da die Funktion \(h\) streng monoton zunehmend ist, lässt sich ihr Wertebereich auch durch eine Untersuchung des Verhaltens von \(h\) an den Rändern des Definitionsbereichs \(D_h = [\textcolor{#e9b509}{-3};\textcolor{#0087c1}{+\infty}[\) ermitteln.
\[\left. \begin{align*} h(\textcolor{#e9b509}{-3}) = \sqrt{\textcolor{#e9b509}{-3} + 3} - 2 = -2 \\[0.8em] \lim \limits_{x\,\to\,\textcolor{#0087c1}{+\infty}} \Big( \underbrace{\sqrt{x+3}}_{\to\,+\infty} -2 \Big) = +\infty \end{align*} \right\} \Rightarrow W_h = [-2;+\infty[\]
