Betrachtet wird die Pyramide \(ABCDS\) mit \(A\,(0|0|0)\), \(B\,(4|4|2)\), \(C\,(8|0|2)\), \(D\,(4|-4|0)\) und \(S\,(1|1|-4)\). Die Grundfläche \(ABCD\) ist ein Parallelogramm.
Weisen Sie nach, dass das Parallelogramm \(ABCD\) ein Rechteck ist.
(2 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 2a
Orthogonalität zweier Vektoren, Betrag eines Vektors
\[A\,(0|0|0)\,, \enspace B\,(4|4|2)\,, \enspace C\,(8|0|2)\,, \enspace D\,(4|-4|0)\]
1. Lösungsansatz: orthogonale Vektoren
Die Aufgabenstellung legt bereits fest, dass die Punktre \(A\), \(B\), \(C\) und \(D\) ein Parallelogramm bilden. Bei einem Parallelogramm sind wie bei einem Rechteck zwei anliegende Seiten verschieden lang. Damit ist es ausreichend, nachzuweisen, dass (mindestens) zwei anliegende Seiten des Parallelogramms \(ABCD\) einen rechten Winkel bilden.
Nachweis, dass z.B. \(\overline{AB} \perp \overline{AD}\) gilt:
\[\overline{AB} \perp \overline{AD} \quad \Longleftrightarrow \quad \overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{AD}\]
Anwendung des Skalarprodukts:
Orthogonale (zueinander senkrechte) Vektoren (vgl. Merkhilfe)
\[\overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{b} \; \Leftrightarrow \; \overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b} \quad (\overrightarrow{a} \neq \overrightarrow{0},\; \overrightarrow{b} \neq \overrightarrow{0})\]
\[\overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{AD}\quad \Longleftrightarrow \quad \overrightarrow{AB} \circ \overrightarrow{AD} = 0\]
Skalarprodukt
Unter dem Skalarprodukt \(\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b}\) zweier Vektoren \(\overrightarrow{a}\) und \(\overrightarrow{b}\) versteht man das Produkt aus den Beträgen der beiden Vektoren und dem Kosinus des von den Vektoren eingeschlossenen Winkels \(\varphi\).
\[\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b} = \vert \overrightarrow{a} \vert \cdot \vert \overrightarrow{b} \vert \cdot \cos{\varphi} \quad (0^{\circ} \leq \varphi \leq 180^{\circ})\]
Berechnung eines Skalarprodukts im \(\boldsymbol{\mathbb R^{3}}\) (vgl. Merkhilfe)
\[\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b} = \begin{pmatrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{pmatrix} = a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2} + a_{3}b_{3}\]
\[\begin{align*} \overrightarrow{AB} \circ \overrightarrow{AD} &= 0 \\[0.8em] (\overrightarrow{B} - \overrightarrow{A}) \circ (\overrightarrow{D} - \overrightarrow{A}) &= 0 & &| \; \overrightarrow{A} = \overrightarrow{0} \\[0.8em] \overrightarrow{B} \circ \overrightarrow{D} &= 0 \\[0.8em] \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 4 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} &= 0 \\[0.8em] 4 \cdot 4 + 4 \cdot (-4) + 2 \cdot 0 &= 0 \\[0.8em] 16 - 16 &= 0 \quad (\text{w}) \end{align*}\]
\[\Longrightarrow \quad \overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{AD}\]
\(\Longrightarrow \quad\) das Parallelogramm \(ABCD\) ist ein Rechteck.
Der nachfolgende 2. und 3. Lösungsansatz weist generell nach, dass die Punkte \(A\), \(B\), \(C\) und \(D\) ein Rechteck bilden (ohne Berücksichtigung, dass diese ein Parallelogramm festlegen).
2. Lösungsansatz: Länge der Diagonalen, orthogonale Vektoren
Das Parallelogramm ABCD ist ein Rechteck, wenn dessen Diagonalen gleich lang sind und zwei anliegende Seiten senkrecht zueinander stehen. Wenn also z.B. gilt: \(\overline{AC} = \overline{BD}\) und \(\overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{AD}\) (Zeichnung nicht maßstabsgetreu).
Nachweis, dass \(\overline{AC} = \overline{BD}\) gilt:
Betrag eines Vektors
\[ \vert \overrightarrow{a} \vert = \sqrt{\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{a}} = \sqrt{{a_1}^2 + {a_2}^2 + {a_3}^2}\]
(vgl. Merkhilfe)
\[\begin{align*} \overline{AC} &= \overline{BD} \\[0.8em] \vert \overrightarrow{AC} \vert &= \vert \overrightarrow{BD} \vert \\[0.8em] \vert \overrightarrow{C} - \overrightarrow{A} \vert &= \vert \overrightarrow{D} - \overrightarrow{C} \vert \\[0.8em] \left| \begin{pmatrix} 8 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \right| &= \left| \begin{pmatrix} 4 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} \right| \\[0.8em] \left| \begin{pmatrix} 8 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} \right| &= \left| \begin{pmatrix} 0 \\ -8 \\ -2 \end{pmatrix} \right| \\[0.8em] \sqrt{8^{2} + 0^{2} + 2^{2}} &= \sqrt{0^{2} + (-8)^{2} + (-2)^{2}} \\[0.8em] \sqrt{68} &= \sqrt{68} \quad (\text{w}) \end{align*}\]
Nachweis, dass \(\overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{AD}\) gilt:
Anwendung des Skalarprodukts:
Orthogonale (zueinander senkrechte) Vektoren (vgl. Merkhilfe)
\[\overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{b} \; \Leftrightarrow \; \overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b} \quad (\overrightarrow{a} \neq \overrightarrow{0},\; \overrightarrow{b} \neq \overrightarrow{0})\]
\[\overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{AD}\quad \Longleftrightarrow \quad \overrightarrow{AB} \circ \overrightarrow{AD} = 0\]
Skalarprodukt
Unter dem Skalarprodukt \(\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b}\) zweier Vektoren \(\overrightarrow{a}\) und \(\overrightarrow{b}\) versteht man das Produkt aus den Beträgen der beiden Vektoren und dem Kosinus des von den Vektoren eingeschlossenen Winkels \(\varphi\).
\[\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b} = \vert \overrightarrow{a} \vert \cdot \vert \overrightarrow{b} \vert \cdot \cos{\varphi} \quad (0^{\circ} \leq \varphi \leq 180^{\circ})\]
Berechnung eines Skalarprodukts im \(\boldsymbol{\mathbb R^{3}}\) (vgl. Merkhilfe)
\[\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b} = \begin{pmatrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{pmatrix} = a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2} + a_{3}b_{3}\]
\[\begin{align*} \overrightarrow{AB} \circ \overrightarrow{AD} &= 0 \\[0.8em] (\overrightarrow{B} - \overrightarrow{A}) \circ (\overrightarrow{D} - \overrightarrow{A}) &= 0 & &| \; \overrightarrow{A} = \overrightarrow{0} \\[0.8em] \overrightarrow{B} \circ \overrightarrow{D} &= 0 \\[0.8em] \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 4 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} &= 0 \\[0.8em] 4 \cdot 4 + 4 \cdot (-4) + 2 \cdot 0 &= 0 \\[0.8em] 16 - 16 &= 0 \quad (\text{w}) \end{align*}\]
\[\Longrightarrow \quad \overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{AD}\]
\(\Longrightarrow \quad\) Die Punkte \(A\), \(B\), \(C\) und \(D\) bilden ein Rechteck.
3. Lösungsansatz: Länge zweier anliegender Seiten, orthogonale Vektoren
Das Parallelogramm ABCD ist ein Rechteck, wenn zwei anliegende Seiten verschieden lang sind und diese senkrecht zueinander stehen. Wenn also z.B. gilt: \(\overline{AB} \neq \overline{AD}\) und \(\overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{AD}\) (Zeichnung nicht maßstabsgetreu).
Nachweis, dass \(\overline{AB} \neq \overline{AD}\) gilt:
Betrag eines Vektors
\[ \vert \overrightarrow{a} \vert = \sqrt{\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{a}} = \sqrt{{a_1}^2 + {a_2}^2 + {a_3}^2}\]
(vgl. Merkhilfe)
\[\begin{align*} \overline{AB} &\neq \overline{AD} \\[0.8em] \vert \overrightarrow{AB} \vert &\neq \vert \overrightarrow{AD} \vert \\[0.8em] \vert (\overrightarrow{B} - \overrightarrow{A}) \vert &\neq \vert (\overrightarrow{D} - \overrightarrow{A}) \vert & &| \; \overrightarrow{A} = \overrightarrow{0} \\[0.8em] \vert \overrightarrow{B} \vert &\neq \vert \overrightarrow{D} \vert \\[0.8em] \left| \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} \right| &\neq \left| \begin{pmatrix} 4 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} \right| \\[0.8em] \sqrt{4^{2} + 4^{2} + 2^{2}} &\neq \sqrt{4^{2} + (-4)^{2} + 0^{2}} \\[0.8em] \sqrt{36} &\neq \sqrt{32} \quad (\text{w}) \end{align*}\]
Nachweis, dass \(\overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{AD}\) gilt:
Anwendung des Skalarprodukts:
Orthogonale (zueinander senkrechte) Vektoren (vgl. Merkhilfe)
\[\overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{b} \; \Leftrightarrow \; \overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b} \quad (\overrightarrow{a} \neq \overrightarrow{0},\; \overrightarrow{b} \neq \overrightarrow{0})\]
\[\overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{AD}\quad \Longleftrightarrow \quad \overrightarrow{AB} \circ \overrightarrow{AD} = 0\]
Skalarprodukt
Unter dem Skalarprodukt \(\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b}\) zweier Vektoren \(\overrightarrow{a}\) und \(\overrightarrow{b}\) versteht man das Produkt aus den Beträgen der beiden Vektoren und dem Kosinus des von den Vektoren eingeschlossenen Winkels \(\varphi\).
\[\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b} = \vert \overrightarrow{a} \vert \cdot \vert \overrightarrow{b} \vert \cdot \cos{\varphi} \quad (0^{\circ} \leq \varphi \leq 180^{\circ})\]
Berechnung eines Skalarprodukts im \(\boldsymbol{\mathbb R^{3}}\) (vgl. Merkhilfe)
\[\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b} = \begin{pmatrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{pmatrix} = a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2} + a_{3}b_{3}\]
\[\begin{align*} \overrightarrow{AB} \circ \overrightarrow{AD} &= 0 \\[0.8em] (\overrightarrow{B} - \overrightarrow{A}) \circ (\overrightarrow{D} - \overrightarrow{A}) &= 0 & &| \; \overrightarrow{A} = \overrightarrow{0} \\[0.8em] \overrightarrow{B} \circ \overrightarrow{D} &= 0 \\[0.8em] \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 4 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} &= 0 \\[0.8em] 4 \cdot 4 + 4 \cdot (-4) + 2 \cdot 0 &= 0 \\[0.8em] 16 - 16 &= 0 \quad (\text{w}) \end{align*}\]
\[\Longrightarrow \quad \overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{AD}\]
\(\Longrightarrow \quad\) Die Punkte \(A\), \(B\), \(C\) und \(D\) bilden ein Rechteck.