Die Graphen der Funktionen \(f \colon x \mapsto 0{,}5x^2 - 3x + 4\) und \(g \colon x \mapsto x^3 - x+1\) besitzen genau einen gemeinsamen Punkt. Berechnen Sie die \(x\)-Koordinate dieses Punktes mit dem Newton-Verfahren auf zwei Dezimalen genau. Wählen Sie als Startwert \(x_0 = 1\).
(Zur Kontrolle: \(x\)-Koordinate des gemeinsamen Punktes: \(\approx 1{,}11617\))
\[f(x) = 0{,}5x^2-3x+4\]
\[g(x) = x^3 - x + 1\]
Der Ansatz \(f(x) = g(x)\) für die Bestimmung der \(x\)-Koordinate des gemeinsamen Punktes der Graphen von \(f\) und \(g\) ist gleichwertig mit der Bestimmung der Nullstelle der Differenzfunktion \(d(x) = f(x) - g(x)\).
\[\begin{align*}f(x) &= g(x) &&| -g(x) \\[0.8em] f(x) - g(x) &= 0\end{align*}\]
Funktionsterm der Differenzfunktion \(\boldsymbol{d}\)
\[\begin{align*}d(x) &= f(x) - g(x) \\[0.8em] &= 0{,}5x^2-3x+4 - (x^3 - x + 1) \\[0.8em] &= -x^3 + 0{,}5x^2 -2x + 3\end{align*}\]
Erste Ableitung \(\boldsymbol{d'}\) bilden
Benötigte Ableitungen/Ableitungsregeln: Faktorregel, Summenregel, Potenzregel (Ableitung einer Potenzfunktion), Konstantenregel
\[d(x) = -x^3 + 0{,}5x^2 -2x + 3\]
Ableitungen der Grundfunktionen
\[c' = 0 \enspace (c \in \mathbb R)\]
\[\left( x^r \right)' = r \cdot x^{r - 1} \enspace (r \in \mathbb R)\]
\[\left( \sqrt{x} \right)' = \frac{1}{2\sqrt{x}}\]
\[\left( \sin{x} \right)' = \cos{x}\]
\[\left( \cos{x} \right)' = -\sin{x}\]
\[\left( \ln{x} \right)' = \frac{1}{x}\]
\[\left( \log_{a}{x}\right)' = \frac{1}{x \cdot \ln{a}}\]
\[\left( e^x \right)' = e^x\]
\[\left(a^x \right)' = a^x \cdot \ln{a}\]
vgl. Merkhilfe
Faktorregel
\[\begin{align*}f(x) &= a \cdot \textcolor{#0087c1}{u(x)} \\[0.8em] f'(x) &= a \cdot \textcolor{#0087c1}{u'(x)}\end{align*}\]
Summenregel
\[\begin{align*}f(x) &= \textcolor{#0087c1}{u(x)} + \textcolor{#cc071e}{v(x)} \\[0.8em] f'(x) &= \textcolor{#0087c1}{u'(x)} + \textcolor{#cc071e}{v'(x)}\end{align*}\]
Produktregel
\[\begin{align*}f(x) &= \textcolor{#0087c1}{u(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v(x)} \\[0.8em] f'(x) &= \textcolor{#0087c1}{u'(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v(x)} + \textcolor{#0087c1}{u(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v'(x)}\end{align*}\]
Quotientenregel
\[\begin{align*}f(x) &= \dfrac{\textcolor{#0087c1}{u(x)}}{\textcolor{#cc071e}{v(x)}} \\[0.8em] f'(x) &= \dfrac{\textcolor{#0087c1}{u'(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v(x)} - \textcolor{#0087c1}{u(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v'(x)}}{[\textcolor{#cc071e}{v(x)}]^{2}}\end{align*}\]
Kettenregel
\[\begin{align*}f(x) &= \textcolor{#0087c1}{u(}\textcolor{#cc071e}{v(x)}\textcolor{#0087c1}{)} \\[0.8em] f'(x) &= \textcolor{#0087c1}{u'(}\textcolor{#cc071e}{v(x)}\textcolor{#0087c1}{)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v'(x)}\end{align*}\]
vgl. Merkhilfe
\[\begin{align*}d'(x) &= (-1) \cdot 3x^2 + 0{,}5 \cdot 2x - 2 + 0 \\[0.8em] &= -3x^2 + x - 2\end{align*}\]
Newton-Verfahren anwenden
Das Kontrollergebnis (vgl. Angabe) dient zur Orientierung, wie oft das Verfahren anzuwenden ist, um eine Genauigkeit von zwei Dezimalen zu erhalten.
Startwert: \(\textcolor{#e9b509}{x_0 = 1}\)
Newton-Verfahren
\(x_{n + 1} = x_n - \dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}\) mit \(n \in \mathbb N\) und \(f'(x_n) \neq 0\)
(vgl. Merkhilfe)
\[\begin{align*}x_1 &= \textcolor{#e9b509}{x_0} - \frac{d(\textcolor{#e9b509}{x_0})}{d'(\textcolor{#e9b509}{x_0})} \\[0.8em] &= \textcolor{#e9b509}{1} - \frac{-\textcolor{#e9b509}{1}^3 + 0{,}5 \cdot \textcolor{#e9b509}{1}^2 - 2 \cdot \textcolor{#e9b509}{1} + 3}{-3 \cdot \textcolor{#e9b509}{1}^2 + \textcolor{#e9b509}{1} - 2} \\[0.8em] &= 1 - \frac{0{,}5}{-4} \\[0.8em] &= 1{,}125\end{align*}\]
Der erste Näherungswert \(\textcolor{#e9b509}{x_1 = 0{,}125}\) stimmt erst auf eine Dezimale genau mit dem Kontrollergebnis überein.
\[\begin{align*}x_2 &= \textcolor{#e9b509}{x_1} - \frac{d(\textcolor{#e9b509}{x_1})}{d'(\textcolor{#e9b509}{x_1})} \\[0.8em] &= \textcolor{#e9b509}{1{,}125} - \frac{-\textcolor{#e9b509}{1{,}125}^3 + 0{,}5 \cdot \textcolor{#e9b509}{1{,}125}^2 - 2 \cdot \textcolor{#e9b509}{1{,}125} + 3}{-3 \cdot \textcolor{#e9b509}{1{,}125}^2 + \textcolor{#e9b509}{1{,}125} - 2} \\[0.8em] &= 1{,}125 - \frac{-\frac{21}{512}}{-\frac{299}{64}} \\[0.8em] &\approx 1{,}11622\end{align*}\]
Der zweite Näherungswert stimmt bereits auf drei Dezimalen mit dem Kontrollergebnis überein.
