Abiturlösungen Mathematik Bayern 2019

Aufgaben mit ausführlichen Lösungen

Gegeben ist ferner die in \(]-1;+\infty[\) definierte Funktion \(F \colon x \mapsto 4 \cdot \ln{(x + 1)} + \dfrac{4}{x + 1}\).

Zeigen Sie, dass \(F\) für \(x > -1\) eine Stammfunktion von \(f\) ist.

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe d

 

\[F(x) = 4 \cdot \ln{(x + 1)} + \frac{4}{x + 1}; \; D_{F} = \;]-1;+\infty[\]

\[f(x) = \frac{4x}{(x + 1)^{2}}; \; D_{f} = \mathbb R \backslash \{-1\}\]

Stammfunktion

Stammfunktion

Eine differenzierbare Funktion \(F(x)\) heißt eine Stammfunktion von \(f(x)\), wenn

\(F'(x) = f(x)\) mit \(D_{F} = D_{f}\)

gilt.

Es ist nachzuweisen, dass \(F'(x) = f(x)\) gilt.

Die Funktion \(F\) kann mithilfe Quotientenregel, der Kettenregel, der Summen- und der Faktorregel sowie der Ableitung der Natürlichen Logarithmusfunktion und der Ableitung einer Potenzfunktion gebildet werden.

Als Alternative kann der Funktionsterm \(F(x)\) mithilfe der Potenzregel \(\frac{1}{a^{n}} = a^{-n}\) in die Potenzschreibweise umgeschrieben und ohne Quotientenregel abgeleitet werden. 

 

Mit Quotientenregel:

 

\[F(x) = 4 \cdot \ln{(x + 1)} + \frac{\textcolor{#0087c1}{4}}{\textcolor{#cc071e}{x + 1}}\]

Erste Ableitung elementarer Funktionen und Ableitungsregeln

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Ableitungen
Ableitungsregeln

Ableitungen der Grundfunktionen

\[c' = 0 \enspace (c \in \mathbb R)\]

\[\left( x^r \right)' = r \cdot x^{r - 1} \enspace (r \in \mathbb R)\]

\[\left( \sqrt{x} \right)' = \frac{1}{2\sqrt{x}}\]

\[\left( \sin{x} \right)' = \cos{x}\]

\[\left( \cos{x} \right)' = -\sin{x}\]

 

\[\left( \ln{x} \right)' = \frac{1}{x}\]

\[\left( \log_{a}{x}\right)' = \frac{1}{x \cdot \ln{a}}\]

\[\left( e^x \right)' = e^x\]

\[\left(a^x \right)' = a^x \cdot \ln{a}\]

vgl. Merkhilfe

Faktorregel

\[\begin{align*}f(x) &= a \cdot \textcolor{#0087c1}{u(x)} \\[0.8em] f'(x) &= a \cdot \textcolor{#0087c1}{u'(x)}\end{align*}\]

Summenregel

\[\begin{align*}f(x) &= \textcolor{#0087c1}{u(x)} + \textcolor{#cc071e}{v(x)} \\[0.8em] f'(x) &= \textcolor{#0087c1}{u'(x)} + \textcolor{#cc071e}{v'(x)}\end{align*}\]

Produktregel

\[\begin{align*}f(x) &= \textcolor{#0087c1}{u(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v(x)} \\[0.8em] f'(x) &= \textcolor{#0087c1}{u'(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v(x)} + \textcolor{#0087c1}{u(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v'(x)}\end{align*}\]

 

Quotientenregel

\[\begin{align*}f(x) &= \dfrac{\textcolor{#0087c1}{u(x)}}{\textcolor{#cc071e}{v(x)}} \\[0.8em] f'(x) &= \dfrac{\textcolor{#0087c1}{u'(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v(x)} - \textcolor{#0087c1}{u(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v'(x)}}{[\textcolor{#cc071e}{v(x)}]^{2}}\end{align*}\]

Kettenregel

\[\begin{align*}f(x) &= \textcolor{#0087c1}{u(}\textcolor{#cc071e}{v(x)}\textcolor{#0087c1}{)} \\[0.8em] f'(x) &= \textcolor{#0087c1}{u'(}\textcolor{#cc071e}{v(x)}\textcolor{#0087c1}{)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v'(x)}\end{align*}\]

vgl. Merkhilfe

\[\begin{align*} F'(x) &= 4 \cdot \underbrace{\frac{1}{x + 1} \cdot 1}_{\large{\text{Kettenregel}}} + \frac{\textcolor{#0087c1}{0} \cdot \textcolor{#cc071e}{(x + 1)} - \textcolor{#0087c1}{4} \cdot \textcolor{#cc071e}{(1 + 0)}}{\textcolor{#cc071e}{(x + 1)^{2}}} \\[0.8em] &= \frac{4}{x + 1} - \frac{4}{(x + 1)^{2}} \\[0.8em] &= \frac{4 \cdot (x + 1)}{(x + 1)^{2}} - \frac{4}{(x + 1)^{2}} \\[0.8em] &= \frac{4x + 4 - 4}{(x + 1)^{2}} \\[0.8em] &= \frac{4x}{(x + 1)^{2}} \\[0.8em] &= f(x) \end{align*}\]

 

Also ist \(F\) für \(x > -1\) eine Stammfunktion von \(f\).

 

Ohne Quotientenregel:

 

\[\begin{align*}F(x) &= 4 \cdot \ln{(x + 1)} + \frac{4}{x + 1} &&| \; \frac{1}{a^{n}} = a^{-n} \\[0.8em] &= 4 \cdot \ln{(x + 1)} + 4 \cdot (x + 1)^{-1}\end{align*}\]

Erste Ableitung elementarer Funktionen und Ableitungsregeln

\[\begin{align*} F'(x) &= 4 \cdot \frac{1}{x + 1} + 4 \cdot (-1) \cdot (x + 1)^{-2} &&| \; a^{-n} = \frac{1}{a^{n}} \\[0.8em] &= \frac{4}{x + 1} - \frac{4}{(x + 1)^{2}} \\[0.8em] &= \frac{4 \cdot (x + 1)}{(x + 1)^{2}} - \frac{4}{(x + 1)^{2}} \\[0.8em] &= \frac{4x + 4 - 4}{(x + 1)^{2}} \\[0.8em] &= \frac{4x}{(x + 1)^{2}} \\[0.8em] &= f(x) \end{align*}\]