Abiturlösungen Mathematik Bayern 2018

Aufgaben mit ausführlichen Lösungen

Auf einem Spielplatz wird ein dreieckiges Sonnensegel errichtet, um einen Sandkasten zu beschatten. Hierzu werden an drei Ecken des Sandkastens Metallstangen im Boden befestigt, an deren Enden das Sonnensegel fixiert wird.

In einem kartesischen Koordinatensystem stellt die \(x_{1}x_{2}\)-Ebene den horizontalen Boden dar. Der Sandkasten wird durch das Rechteck mit den Eckpunkten \(K_{1}(0|4|0)\), \(K_{2}(0|0|0)\), \(K_{3}(3|0|0)\) und \(K_{4}(3|4|0)\) beschrieben. Das Sonnensegel wird durch das ebene Dreieck mit den Eckpunkten \(S_{1}(0|6|2{,}5)\), \(S_{2}(0|0|3)\) und \(S_{3}(6|0|2{,}5)\) dargestellt (vgl. Abbildung 1). Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Realität.

Abbildung 1 Geometrie 1 Mathematik Abitur Bayern 2018 BAbb. 1

Die Punkte \(S_{1}\), \(S_{2}\) und \(S_{3}\) legen die Ebene \(E\) fest.

Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene \(E\) in Normalenform.

(zur Kontrolle: \(E \colon x_{1} + x_{2} + 12x_{3} - 36 = 0\))

(4 BE)

Lösung zu Teilaufgabe a

 

Normalenvektor der Ebene E

Beispielsweise liefert das Vektorprodukt \(\overrightarrow{S_{2}S_{1}} \times \overrightarrow{S_{2}S_{3}}\) der beiden linear unabhängigen Verbindungsvektoren \(\overrightarrow{S_{2}S_{1}}\) und \(\overrightarrow{S_{2}S_{3}}\) einen Normalenvektor \(\overrightarrow{n}\) der Ebene \(E\). Als Aufpunkt wählt man einen der gegebenen Punkte \(S_{1}\), \(S_{2}\) oder \(S_{3}\). Damit lässt sich eine Gleichung der Ebene \(E\) in Normalenform angeben.

Der Ansatz kann mithilfe der Normalenform in Vektordarstellung oder in Koordinatendarstellung erfolgen. Die Aufgabenstellung nennt zur Kontrolle eine Gleichung der Ebene \(E\) in Normalenform in Koordinatendarstellung.

Ebenengleichung in Normalenform

Ebenengleichung in Normalenform (vgl. Merkhilfe)

Jeden Ebene lässt sich durch eine Gleichung in Normalenform beschreiben. Ist \(A\) ein beliebiger Aufpunkt der Ebene \(E\) und \(\overrightarrow{n}_{E}\) ein Normalenvektor von \(E\), so erfüllt jeder Punkt \(X\) der Ebene \(E\) folgende Gleichungen:

Normalenform in Vektordarstellung

\[E \colon \overrightarrow{n}_{E} \circ (\overrightarrow{X} - \overrightarrow{A}) = 0\]

Veranschaulichung: Ebenengleichung in Normalenform in Vektordarstellung

Normalenform in Koordinatendarstellung

\[E \colon n_{1}x_{1} + n_{2}x_{2} + n_{3}x_{3} + n_{0} = 0\]

mit \(n_{0} = -(\overrightarrow{n}_{E} \circ \overrightarrow{A}) = - \: n_{1}a_{1} - n_{2}a_{2} - n_{3}a_{3}\)

\(n_{1}\), \(n_{2}\) und \(n_{3}\): Koordinaten eines Normalenvektors \(\overrightarrow{n}_{E}\)

Linear unabhängige Verbindungsvektoren \(\overrightarrow{S_{2}S_{1}}\) und \(\overrightarrow{S_{2}S_{3}}\) berechnen:

Lineare (Un-)Abhängigkeit von Vektoren

Lineare (Un-)Abhängigkeit von zwei Vektoren

Zwei Vektoren \(\overrightarrow{a}\) und \(\overrightarrow{b}\) sind

linear abhängig, wenn

\(\overrightarrow{a} \parallel \overrightarrow{b}\quad\) bzw. \(\quad\overrightarrow{a} = k \cdot \overrightarrow{b}\,; \enspace k \in \mathbb R \quad\) gilt.

linear unabhängig, wenn

\(\overrightarrow{a} \nparallel \overrightarrow{b}\quad\) bzw. \(\quad\overrightarrow{a} \neq k \cdot \overrightarrow{b}\,; \enspace k \in \mathbb R \quad\) gilt.

 

Lineare (Un-)Abhängigkeit von drei Vektoren

Drei Vektoren \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\) und \(\overrightarrow{c}\) sind

linear abhängig, wenn

sie in einer Ebene liegen bzw. wenn

die lineare Vektorgleichung \(\overrightarrow{c} = r \cdot \overrightarrow{a} + s \cdot \overrightarrow{b}\) eine eindeutige Lösung hat.

linear unabhängig, wenn

sie den Raum \(\mathbb R^{3}\) aufspannen bzw. wenn

die lineare Vektorgleichung \(\overrightarrow{c} = r \cdot \overrightarrow{a} + s \cdot \overrightarrow{b}\) keine Lösung hat.

Bei der Untersuchung der linearen (Un)Abhängigkeit dreier Vektoren spielt es keine Rolle, welche der drei Vektoren \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\) oder \(\overrightarrow{c}\) man als Linearkombination der beiden anderen Vektoren darzustellen versucht.

\(S_{1}(0|6|2{,}5)\), \(S_{2}(0|0|3)\), \(S_{3}(6|0|2{,}5)\)

 

\[\overrightarrow{S_{2}S_{1}} = \overrightarrow{S_{1}} - \overrightarrow{S_{2}} = \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 2{,}5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ -0{,}5 \end{pmatrix}\]

\[\overrightarrow{S_{2}S_{3}} = \overrightarrow{S_{3}} - \overrightarrow{S_{2}} = \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 2{,}5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ -0{,}5 \end{pmatrix}\]

 

Normalenvektor \(\overrightarrow{n}\) der Ebene \(E\) ermitteln:

Vektorprodukt

Vektorprodukt (Kreuzprodukt)

Das Vektorprodukt \(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}\) zweier Vektoren \(\overrightarrow{a}\) und \(\overrightarrow{b}\) erzeugt einen neuen Vektor \(\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}\) mit den Eigenschaften:

\(\overrightarrow{c}\) ist sowohl zu \(\overrightarrow{a}\) als auch zu \(\overrightarrow{b}\) senkrecht.

\[\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} \quad \Longrightarrow \quad \overrightarrow{c} \perp \overrightarrow{a}, \enspace \overrightarrow{c} \perp \overrightarrow{b}\]

Der Betrag des Vektorprodukts zweier Vektoren \(\overrightarrow{a}\) und \(\overrightarrow{b}\) ist gleich dem Produkt aus den Beträgen der Vektoren \(\overrightarrow{a}\) und \(\overrightarrow{b}\) und dem Sinus des von ihnen eingeschlossenen Winkels \(\varphi\).

\[\vert \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} \vert = \vert \overrightarrow{a} \vert \cdot \vert \overrightarrow{b} \vert \cdot \sin{\varphi} \quad (0^{\circ} \leq \varphi \leq 180^{\circ})\]

Die Vektoren \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\) und \(\overrightarrow{c}\) bilden in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem. Rechtehandregel: Weist \(\overrightarrow{a}\) in Richtung des Daumens und \(\overrightarrow{b}\) in Richtung des Zeigefingers, dann weist \(\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}\) in Richtung des Mittelfingers.

Berechnung eines Vektorprodukts im \(\boldsymbol{\mathbb R^{3}}\) (vgl. Merkhilfe)

\[\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = \begin {pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end {pmatrix} \times \begin {pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end {pmatrix} = \begin {pmatrix} a_2 \cdot b_3 - a_3 \cdot b_2 \\ a_3 \cdot b_1 - a_1 \cdot b_3 \\ a_1 \cdot b_2 - a_2 \cdot b_1 \end {pmatrix}\]

\[\begin{align*} \overrightarrow{S_{2}S_{1}} \times \overrightarrow{S_{2}S_{3}} &= \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ -0{,}5 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ -0{,}5 \end{pmatrix} \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} 6 & \cdot & (-0{,}5) & - & (-0{,}5) & \cdot & 0 \\ (-0{,}5) & \cdot & 6 & - & 0 & \cdot & (-0{,}5) \\ 0 & \cdot & 0 & - & 6 & \cdot & 6 \end{pmatrix} \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} -3 \\ -3 \\ -36 \end{pmatrix} = (-3) \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 12 \end{pmatrix} \end{align*}\]

 

Der Vektor \(\overrightarrow{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 12 \end{pmatrix}\) ist also ein Normalenvektor der Ebene \(E\).

 

Gleichung der Ebene \(E\) in Normalenform beschreiben:

Der Punkt \(S_{2}(0|0|3)\) dient beispielsweise als Aufpunkt.

 

1. Möglichkeit: Ansatz mit der Normalenform in Vektordarstellung

Ebenengleichung in Normalenform

Ebenengleichung in Normalenform (vgl. Merkhilfe)

Jeden Ebene lässt sich durch eine Gleichung in Normalenform beschreiben. Ist \(A\) ein beliebiger Aufpunkt der Ebene \(E\) und \(\overrightarrow{n}_{E}\) ein Normalenvektor von \(E\), so erfüllt jeder Punkt \(X\) der Ebene \(E\) folgende Gleichungen:

Normalenform in Vektordarstellung

\[E \colon \overrightarrow{n}_{E} \circ (\overrightarrow{X} - \overrightarrow{A}) = 0\]

Veranschaulichung: Ebenengleichung in Normalenform in Vektordarstellung

Normalenform in Koordinatendarstellung

\[E \colon n_{1}x_{1} + n_{2}x_{2} + n_{3}x_{3} + n_{0} = 0\]

mit \(n_{0} = -(\overrightarrow{n}_{E} \circ \overrightarrow{A}) = - \: n_{1}a_{1} - n_{2}a_{2} - n_{3}a_{3}\)

\(n_{1}\), \(n_{2}\) und \(n_{3}\): Koordinaten eines Normalenvektors \(\overrightarrow{n}_{E}\)

\[\begin{align*}E \colon &\overrightarrow{n} \circ (\overrightarrow{X} - \overrightarrow{S_{2}}) = 0 \\[0.8em] E \colon &\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 12 \end{pmatrix} \circ \left[ \overrightarrow{X} - \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} \right] = 0 \\[0.8em] &\textcolor{#0087c1}{1 \cdot (x_{1} - 0) + 1 \cdot (x_{2} - 0) + 12 \cdot (x_{3} - 3) = 0} \\[0.8em] \textcolor{#0087c1}{E \colon \,} &\textcolor{#0087c1}{x_{1} + x_{2} + 12x_{3} - 36 = 0} \end{align*}\]

 

Anmerkung:

Da die Aufgabe keine bestimmte Darstellung der Normalenform verlangt, ist das Ausmultiplizieren des Skalarprodukts, d.h. die Umwandlung in die Koordinatendarstellung, nicht unbedingt notwendig.

 

2. Möglichkeit: Ansatz mit der Normalenform in Koordinatendarstellung

Ebenengleichung in Normalenform

Ebenengleichung in Normalenform (vgl. Merkhilfe)

Jeden Ebene lässt sich durch eine Gleichung in Normalenform beschreiben. Ist \(A\) ein beliebiger Aufpunkt der Ebene \(E\) und \(\overrightarrow{n}_{E}\) ein Normalenvektor von \(E\), so erfüllt jeder Punkt \(X\) der Ebene \(E\) folgende Gleichungen:

Normalenform in Vektordarstellung

\[E \colon \overrightarrow{n}_{E} \circ (\overrightarrow{X} - \overrightarrow{A}) = 0\]

Veranschaulichung: Ebenengleichung in Normalenform in Vektordarstellung

Normalenform in Koordinatendarstellung

\[E \colon n_{1}x_{1} + n_{2}x_{2} + n_{3}x_{3} + n_{0} = 0\]

mit \(n_{0} = -(\overrightarrow{n}_{E} \circ \overrightarrow{A}) = - \: n_{1}a_{1} - n_{2}a_{2} - n_{3}a_{3}\)

\(n_{1}\), \(n_{2}\) und \(n_{3}\): Koordinaten eines Normalenvektors \(\overrightarrow{n}_{E}\)

\(\overrightarrow{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 12 \end{pmatrix}\), \(S_{2}(0|0|3)\)

 

\[\begin{align*} &E \colon n_{1}x_{1} + n_{2}x_{2} + n_{3}x_{3} + n_{0} = 0 \\[0.8em] &E \colon 1 \cdot x_{1} + 1 \cdot x_{2} + 12 \cdot x_{3} + n_{0} = 0 \end{align*}\]

 

\[\begin{align*} S_{2} \in E \colon 1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + 12 \cdot 3 + n_{0} &= 0 \\[0.8em] 36 + n_{0} &= 0 &&| - 36 \\[0.8em] n_{0} &= -36 \end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad E \colon x_{1} + x_{2} + 12x_{3} - 36 = 0\]