Der Kurs Theater und Film eines Gymnasiums führt die Bühnenversion des Romans auf.
Für die Premiere wird die Aula der Schule bestuhlt; in der ersten Reihe werden acht Plätze für Ehrengäste reserviert. Bestimmen Sie die Anzahl der Möglichkeiten, die die fünf erschienenen Ehrengäste haben, sich auf die reservierten Plätze zu verteilen, wenn
α) die Personen nicht unterschieden werden;
β) die Personen unterschieden werden.
Nennen Sie im Sachzusammenhang einen möglichen Grund dafür, dass die möglichen Anordnungen der Ehrengäste auf den reservierten Plätzen nicht gleichwahrscheinlich sind - unabhängig davon, ob die Personen unterschieden werden oder nicht
(4 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 3
α) Ohne Unterscheidung der Personen
Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge:
Binomialkoeffizient
Der Binomialkoeffizient gibt an, wie viele Möglichkeiten es gibt, aus einer Menge mit \(n\) Elementen eine Teilmenge mit \(k\) Elementen zu bilden.
\[\binom{n}{k} = \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!} = \frac{n \cdot (n - 1) \cdot ... \cdot (n - k + 1)}{k!}\]
(vgl. Merkhilfe)
\[n = 8\;\text{(reservierte Plätze)}\,, \quad k = 5\;\text{(Ehrengäste)}\]
\[\binom{n}{k} = \binom{8}{5} = \frac{8!}{5! \cdot (8 - 5)!} = \frac{40320}{120 \cdot 6} = 56\]
Die fünf Ehrengäste haben 56 Möglichkeiten, um sich - ohne Unterscheidung der Personen - auf die acht reservierten Plätze zu verteilen.
β) Mit Unterscheidung der Personen
Ziehen ohne Zurücklegen und mit Beachtung der Reihenfolge:
Die Anzahl der möglichen Anordnungen für die Platzverteilung ohne Unterscheidung der Personen muss mit der Anzahl der möglichen Anordnungungen der Ehrengäste untereinander (Permutationen) multipliziert werden.
Anordnung von Objekten
Es gibt \(n!\) Möglichkeiten, \(n\) Objekte in einer Reihe anzuordnen. Eine mögliche Anordung wird als Permutation der \(n\) Objekte bezeichnet.
Es gibt \(\displaystyle \,n \cdot (n - 1)\; \cdot \; ... \; \cdot \; (n - k + 1) = \frac{n!}{(n - k)!}\,\) Möglichkeiten, \(k\) Objekte aus \(n\) verschiedenen Objekten auszuwählen und in einer Reihe anzuordnen.
\[\binom{n}{k} \cdot k! = \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!} \cdot k! = \frac{n!}{(n - k)!}\]
Die fünf Ehrengäste haben \(\displaystyle \binom{8}{5} = 56\) Möglichkeiten, um sich - ohne Unterscheidung der Personen - auf die acht reservierten Plätze zu verteilen.
Es gibt \(5!\) mögliche Anordnungen (Permutationen) der fünf Ehrengäste untereinander.
\[n = 8\;\text{(reservierte Plätze)}\,, \quad k = 5\;\text{(Ehrengäste)}\]
\[\binom{n}{k} \cdot k! = \binom{8}{5} \cdot 5! = 56 \cdot 120 = 6720\]
oder
\[\frac{n!}{(n - k)!} = \frac{8!}{(8 - 5)!} = \frac{40320}{6} = 6720\]
Die fünf Ehrengäste haben 6720 Möglichkeiten, um sich - mit Unterscheidung der Personen - auf die acht reservierten Plätze zu verteilen.
Mögliche Gründe dafür, dass die Anordnungen nicht gleichwahrscheinlich sind
In der Praxis beeinflussen menschliche Verhaltensweisen die Wahrscheinlichkeiten der Anordnungen:
- Bestimmte Plätze (z.B. in der Mitte der Reihe) werden von den Ehrengästen bevorzugt.
- Befreundete oder verheiratete Ehrengäste möchten nebeneinander sitzen.
- Die Ehrengäste lassen keine Plätze zwischen sich leer. Sie sitzen in einer Gruppe nebeneinander.
