Abiturlösungen Mathematik Bayern 2018

Aufgaben mit ausführlichen Lösungen

Zeigen Sie, dass \(G_{f}\) im Punkt \(W(5|0)\) einen Wendepunkt besitzt, und ermitteln Sie eine Gleichung der Tangente an \(G_{f}\) im Punkt \(W\).

(6 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1b

!!! Derzeit in Bearbeitung !!!

 

Nachweis, dass \(G_{f}\) im Punkt \(W(5|0)\) einen Wendepunkt besitzt

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt von \(G_{f}\) lautet:

Wendepunkt

Anwendung der Differetialrechnung:

Wendepunkt

Ist \(f''(x_0) = 0\) und wechselt \(f''\) an der Stelle \(x_0\) das Vorzeichen, so hat \(G_f\) an der Stelle \(x_0\) einen Wendepunkt.

(vgl. Merkhilfe)

Alternative:

Es muss \(f''(x_{0}) = 0\) und \(f'''(x_{0}) \neq 0\) gelten.

\[f''(x) = 0\]

 

Zweite Ableitung \(f''\) bilden:

Hierfür wird der Funktionsterm \(f(x)\) zweimal mithilfe der Ableitung einer Potenzfunktion sowie der Summen- und der Faktorregel abgeleitet.

 

\[f(x) = \frac{1}{18} \cdot (x^{3} - 15x^{2} + 50x)\]

Erste Ableitung elementarer Funktionen und Ableitungsregeln

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Ableitungen
Ableitungsregeln

Ableitungen der Grundfunktionen

\[c' = 0 \enspace (c \in \mathbb R)\]

\[\left( x^r \right)' = r \cdot x^{r - 1} \enspace (r \in \mathbb R)\]

\[\left( \sqrt{x} \right)' = \frac{1}{2\sqrt{x}}\]

\[\left( \sin{x} \right)' = \cos{x}\]

\[\left( \cos{x} \right)' = -\sin{x}\]

 

\[\left( \ln{x} \right)' = \frac{1}{x}\]

\[\left( \log_{a}{x}\right)' = \frac{1}{x \cdot \ln{a}}\]

\[\left( e^x \right)' = e^x\]

\[\left(a^x \right)' = a^x \cdot \ln{a}\]

vgl. Merkhilfe

Faktorregel

\[\begin{align*}f(x) &= a \cdot \textcolor{#0087c1}{u(x)} \\[0.8em] f'(x) &= a \cdot \textcolor{#0087c1}{u'(x)}\end{align*}\]

Summenregel

\[\begin{align*}f(x) &= \textcolor{#0087c1}{u(x)} + \textcolor{#cc071e}{v(x)} \\[0.8em] f'(x) &= \textcolor{#0087c1}{u'(x)} + \textcolor{#cc071e}{v'(x)}\end{align*}\]

Produktregel

\[\begin{align*}f(x) &= \textcolor{#0087c1}{u(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v(x)} \\[0.8em] f'(x) &= \textcolor{#0087c1}{u'(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v(x)} + \textcolor{#0087c1}{u(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v'(x)}\end{align*}\]

 

Quotientenregel

\[\begin{align*}f(x) &= \dfrac{\textcolor{#0087c1}{u(x)}}{\textcolor{#cc071e}{v(x)}} \\[0.8em] f'(x) &= \dfrac{\textcolor{#0087c1}{u'(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v(x)} - \textcolor{#0087c1}{u(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v'(x)}}{[\textcolor{#cc071e}{v(x)}]^{2}}\end{align*}\]

Kettenregel

\[\begin{align*}f(x) &= \textcolor{#0087c1}{u(}\textcolor{#cc071e}{v(x)}\textcolor{#0087c1}{)} \\[0.8em] f'(x) &= \textcolor{#0087c1}{u'(}\textcolor{#cc071e}{v(x)}\textcolor{#0087c1}{)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v'(x)}\end{align*}\]

vgl. Merkhilfe

\[\begin{align*}f'(x) &= \frac{1}{18} \cdot (3x^{2} - 15 \cdot 2x + 50) \\[0.8em] &= \frac{1}{18} \cdot (3x^{2} - 30x + 50) \end{align*}\]

 

\[f''(x) = \frac{1}{18} \cdot (3 \cdot 2x - 30) = \frac{1}{18} \cdot (6x - 30)\]

 

Nullstelle von \(f''(x)\) bestimmen:

 

\[\begin{align*}f''(x) &= 0 \\[0.8em] \frac{1}{18} \cdot (6x - 30) &= 0 &&| : \frac{1}{18} \\[0.8em] 6x - 30 &= 0 &&| + 30 \\[0.8em] 6x &= 30 &&| : 6 \\[0.8em] x &= 5 \end{align*}\]

 

\(x = 5\) ist einzige mögliche Wendestelle von \(G_{f}\). Nun ist noch nachzuweisen, dass \(x = 5\) tatsächlich eine Wendestelle ist.

 

1. Möglichkeit: Nachweis mithilfe der dritten Ableitung \(f'''\)

Diese Möglichkeit bietet sich an, da \(f'''\) einfach zu bilden ist.

Wendepunkt

Anwendung der Differetialrechnung:

Wendepunkt

Ist \(f''(x_0) = 0\) und wechselt \(f''\) an der Stelle \(x_0\) das Vorzeichen, so hat \(G_f\) an der Stelle \(x_0\) einen Wendepunkt.

(vgl. Merkhilfe)

Alternative:

Es muss \(f''(x_{0}) = 0\) und \(f'''(x_{0}) \neq 0\) gelten.

\[f''(x) = \frac{1}{18} \cdot 6 = \frac{1}{3}\]

 

Für alle \(x \in \mathbb R\) gilt \(f'''(x) \neq 0\), also gilt auch \(f'''(5) \neq 0\) und \(G_{f}\) hat den Wendepunkt \(W(5|f(5))\).

Aus Teilaufgabe 1a ist die Nullstelle \(x = 5\) bekannt. Somit folgt: \(W(5|0)\).

 

2. Möglichkeit: Nachweis des Vorzeichenwechsels von \(f''\) an der Stelle \(x = 5\) (Krümmungstabelle)

Nach einer geeigneten Umformung von \(f''(x)\) lässt sich der Vorzeichenwechsel an der Stelle \(x = 5\) besser erkennen.

 

\[\begin{align*}f''(x) &= \frac{1}{18} \cdot (6x - 30) \\[0.8em] &= \frac{1}{18} \cdot 6 \cdot (x - 5) \\[0.8em] &= \frac{1}{3}(x - 5) \end{align*}\]

Krümmungsverhalten

Anwendung der Differentialrechnung:

Krümmungsverhalten von Funktionsgraphen

\(f''(x) < 0\) im Intervall \(I \quad \Longrightarrow \quad G_f\) ist in \(I\) rechtsgekrümmt.

\(f''(x) > 0\) im Intervall \(I \quad \Longrightarrow \quad G_f\) ist in \(I\) linksgekrümmt.

(vgl. Merkhilfe)

\(x\) \(x < 5\) \(5\) \(x > 5\)
\(f''(x)\) \(\textcolor{#cc071e}{\Large{-}}\) \(0\) \(\textcolor{#0087c1}{\Large{+}}\)
\(G_{f}\) \(\Large \textcolor{#cc071e}{\curvearrowright}\) \(W(5|0)\) \(\style{display: inline-block; transform:rotate(0.5turn);}{\Large \textcolor{#0087c1}{\curvearrowleft}}\)

 

 

Gleichung der Tangente an \(G_{f}\) im Punkt \(W\)

Der Ansatz der Gleichung der Wendetangente \(w\) kann mit der allgemeinen Geradengleichung erfolgen.

Allgemeine Geradengleichung

Allgemeine Geradengleichung

\[y = mx + t\]

Wobei \(m\) die Steigung und \(t\) der \(y\)-Achsenabschnitt der Geraden ist.

\[w \colon y = mx + t\]

 

Steigung der Wendetangente berechnen:

Die erste Ableitung \(f'\) beschreibt die Steigung einer Tangente an den Graphen von \(f\). Also beschreibt \(f'(5)\) die Steigung der Wendetangente \(w\) im Wendepunkt \(W(5|0)\). 

Tangentensteigung

Anwendung der Differetialrechnung:

Steigung \(m_{T}\) einer Tangente \(T\) an den Graphen einer Funktion \(f\) im Punkt \(P\,(\,x_0\,|\,f(x_0)\,)\)

\[m_{T} = f'(x_0)\]

(vgl. Merkhilfe)

\[f'(x) = \frac{1}{18} \cdot (3x^{2} - 30x + 50)\]

 

\[m = f'(5) = \frac{1}{18} \cdot (3 \cdot 5^{2} - 30 \cdot 5 + 50) = -\frac{25}{18}\]

 

\[\Longrightarrow \quad w \colon y = -\frac{25}{18}x + t\]

 

\(y\)-Achsenabschnitt \(t\) berechnen:

Hierfür werden die Koordinaten des Wendepunktes \(W(5|0)\) in die Gleichung der Wendetangente \(w\) eingesetzt und diese nach \(t\) aufgelöst.

 

\[\begin{align*} W(5|0) \in w \colon 0 &= -\frac{25}{18} \cdot 5 + t \\[0.8em] 0 &= -\frac{125}{18} + t &&| + \frac{125}{18} \\[0.8em] \frac{125}{18} &= t \end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad w \colon y = -\frac{25}{18}x + \frac{125}{18}\]