Gegeben ist die Funktion \(\displaystyle f \, \colon x \mapsto \frac{x}{\ln x}\) mit Definitionsmenge \(\mathbb R^+ \, \backslash \{1\}\). Bestimmen Sie Lage und Art des Extrempunkts des Graphen von \(f\).
(5 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 1
\[f(x) = \frac{x}{\ln x}\,; \quad D = \mathbb R^+ \, \backslash \, \{1\}\]
Lage des Extrempunkts
Notwendige Bedingung für die Extremstelle des Graphen von \(f\):
\[f'(x) \overset{!}{=} 0\]
Erste Ableitung \(f'(x)\) bilden:
Quotientenregel
\[f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{[v(x)]^2}\]
Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion
\[f(x) = \ln x \enspace (x > 0) \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = \frac{1}{x}\]
Ableitung einer Potenzfunktion
\[f(x) = x^r \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = rx^{r - 1} \quad (r \in \mathbb R)\]
(vgl. Merkhilfe)
\[f(x) = \frac{x}{\ln x}\]
\[f'(x) = \frac{1 \cdot \ln x - x \cdot \frac{1}{x}}{(\ln x)^2} = \frac{\ln x - 1}{(\ln x)^2}\]
\[\begin{align*}f'(x) \overset{!}{=} 0 \quad \Longrightarrow \quad \ln x - 1 &= 0 & &| + 1 \\[0.8em] \ln x &= 1 & &| \; \log_{a} a = 1 \\[0.8em] x &= e \end{align*}\]
\(\Longrightarrow \quad x_{E} = e\) ist Extremstelle von \(G_f\).
\[f(e) = \frac{e}{\ln e} = \frac{e}{1} = e\]
\(\Longrightarrow \quad (e|e)\) ist Extrempunkt von \(G_f\).
Art des Extrempunkts
1. Lösungsansatz: Vorzeichenwechsel von \(f'(x)\) (Monotonieverhalten von \(G_f\))
Anwendung der Differetialrechnung:
Monotoniekriterium
\(\textcolor{#cc071e}{f'(x) < 0}\) im Intervall \( I \; \Rightarrow \; G_{f}\) fällt streng monoton in \(I\)
\(\textcolor{#0087c1}{f'(x) > 0}\) im Intervall \( I \; \Rightarrow \; G_{f}\) steigt streng monoton in \(I\)
(vgl. Merkhilfe)
\[f'(x) = \frac{\ln x - 1}{\underbrace{(\ln x)^2}_{> \, 0}}\]
Der Zählerterm \(\ln x - 1\) bestimmt den Vorzeichenwechsel von \(f'(x)\) in der Umgebung der Extremstelle \(x_{E}\).
\[x_{E} = e\]
\[\left. \begin{align*} &f'(x) < 0 \enspace \text{für} \enspace x < e \\ &f'(e) = 0 \\ &f'(x) > 0 \enspace \text{für} \enspace x > e \end{align*} \right\} \enspace \Rightarrow \enspace \text{Tiefpunkt}, \; TiP \, (e|e)\]
2. Lösungsansatz: Art der Extrema mit Hilfe der zweiten Ableitung
Anwendung der Differentialrechnung:
Art von Extrempunkten mithilfe der zweiten Ableitung nachweisen
Ist \(f'(x_{0}) = 0\) und \(f''(x_{0}) > 0\), so hat der Graph \(G_{f}\) an der Stelle \(x_{0}\) ein relatives Minimum (Tiefpunkt).
Ist \(f'(x_{0}) = 0\) und \(f''(x_{0}) < 0\), so hat der Graph \(G_{f}\) an der Stelle \(x_{0}\) ein relatives Maximum (Hochpunkt).
Zweite Ableitung \(f''(x)\) bilden:
Quotientenregel
\[f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{[v(x)]^2}\]
Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion
\[f(x) = \ln x \enspace (x > 0) \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = \frac{1}{x}\]
Kettenregel
\[f(x) = u(v(x)) \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x) \]
Ableitung einer Potenzfunktion
\[f(x) = x^r \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = rx^{r - 1} \quad (r \in \mathbb R)\]
(vgl. Merkhilfe)
\[f'(x) = \frac{\ln x - 1}{(\ln x)^2}\]
\[\begin{align*} f''(x) &= \frac{(\frac{1}{x} - 0) \cdot (\ln x)^2 - (\ln x - 1) \cdot 2 \cdot \ln x \cdot \frac{1}{x}}{(\ln x)^4} & &| \; \frac{1}{x} \cdot \ln x \; \text{ausklammern} \\[0.8em] &= \frac{\frac{1}{x} \cdot \ln x \cdot(\ln x - 2\ln x + 2)}{(\ln x)^4} \\[0.8em] &= \frac{\frac{1}{x} \cdot (2 - \ln x)}{(\ln x)^3} \\[0.8em] &= \frac{2 - \ln x}{x \cdot (\ln x)^3} \end{align*}\]
\[x_{E} = e\]
\[f''(e) = \frac{2 - \ln e}{e \cdot (\ln e)^3} = \frac{2 - 1}{e \cdot 1^3} = \frac{1}{e}\]
\[\left. \begin{align*} &f'(e) = 0 \\ &f''(e) > 0 \end{align*} \right\} \enspace \Rightarrow \enspace \text{Tiefpunkt}, \; TiP\,(e|e)\]
Graph von \(f\) und Graph von \(f'\)
