Abiturlösungen Mathematik Bayern 2016

Aufgaben mit ausführlichen Lösungen

Der Graph der Funktion \(h\) ist streng monoton fallend und rechtsgekrümmt.

(2 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 2b

 

Monoptoniekriterium, Krümmungsverhalten, Entwicklung von Funktionen

 

1. Lösungsansatz: Monotoniekriterium, Krümmungsverhalten

Für die gesuchte Funktion \(h\) muss im gesamten Definitionsbereich \(D_{h}\) gelten:

Monotoniekriterium

Anwendung der Differetialrechnung:

Monotoniekriterium

\(f'(x) < 0\) im Intervall \( I \quad \Longrightarrow \quad G_{f}\) fällt streng monoton in \(I\)

\(f'(x) > 0\) im Intervall \( I \quad \Longrightarrow \quad G_{f}\) steigt streng monoton in \(I\)

(vgl. Merkhilfe)

Der Graph der Funktion \(h\) ist streng monoton fallend.

\(\Longrightarrow \quad h'(x) < 0\)

Krümmungsverhalten

Anwendung der Differentialrechnung:

Krümmungsverhalten von Funktionsgraphen

\(f''(x) < 0\) im Intervall \(I \quad \Longrightarrow \quad G_f\) ist in \(I\) rechtsgekrümmt.

\(f''(x) > 0\) im Intervall \(I \quad \Longrightarrow \quad G_f\) ist in \(I\) linksgekrümmt.

(vgl. Merkhilfe)

Der Graph der Funktion \(h\) ist rechtsgekrümmt.

\(\Longrightarrow \quad h'' < 0\)

 

Diese Bedingungen erfüllt beispielsweise die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(h \colon x \mapsto -e^{x}\), denn es gilt:

Ableitung der natürlichen Exponentialfunktion

Ableitung der natürlichen Exponentialfunktion

\[f(x) = e^x \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = e^x\]

(vgl. Merkhilfe)

\[h(x) = -e^{x}; \; D_{h} = \mathbb R\]

\[h'(x) = -e^{x} \quad \Longrightarrow \quad h'(x) < 0\]

\[h''(x) = -e^{x} \quad \Longrightarrow \quad h''(x) < 0\]

  

2. Lösungsansatz: Betrachtung der Natürliche Exponentialfunktion

Der Graph der natürlichen Exponetialfunktion \(f \colon x \mapsto e^{x}\) ist streng monoton steigend und in \(D_{f} = \mathbb R\) linksgekrümmt. Spiegelt man den Graphen der natürlichen Exponentialfunktion an der \(x\)-Achse, so ist der Graph der entstehenden Funktion \(h\) streng monoton fallend und in \(D_{h} = \mathbb R\) rechtsgekrümmt.

Spiegeln von Funktionsgraphen

Spiegeln von Funktionsgraphen

Spiegelung an der \(x\)-Achse: \(g(x) = -f(x)\)

Spiegelung an der \(y\)-Achse: \(h(x) = f(-x)\)

\[f(x) = e^{x}\; \; D_{f} = \mathbb R\]

\[h(x) = - f(x) = -e^{x}\]

 

\[\Longrightarrow \quad h(x) = -e^{x}; \; D_{h} = \mathbb R\]

 

Graph der Natürlichen Exponentialfunktion f und Graph der Funktion h, welche durch Spiegelung des Graphen von f an der x-Achse hervorgeht

Streng monoton steigender, linksgekrümmter Graph der in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(f \colon x \mapsto e^{x}\) und streng monoton fallender, rechtsgekrümmter Graph der ebenfalls in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(h \colon x \mapsto -e^{x}\)

 

3. Lösungsansatz: Betrachtung der Natürliche Logarithmusfunktion

Der Graph der natürlichen Logarithmusfunktion \(f \colon x \mapsto \ln{x}\) ist streng monoton steigend und in \(D_{f} = \mathbb R^{+}\) rechtsgekrümmt. Spiegelt man den Graphen der natürlichen Logarithmusfunktion an der \(y\)-Achse, so ist der Graph der entstehenden Funktion \(h\) streng monoton fallend und in \(D_{h} = \mathbb R^{-}\) rechtsgekrümmt.

Spiegeln von Funktionsgraphen

Spiegeln von Funktionsgraphen

Spiegelung an der \(x\)-Achse: \(g(x) = -f(x)\)

Spiegelung an der \(y\)-Achse: \(h(x) = f(-x)\)

\[f(x) = \ln{x}\; \; D_{f} = \mathbb R^{+}\]

\[h(x) = f(-x) = \ln(-x)\]

 

\[\Longrightarrow \quad h(x) = \ln(-x); \; D_{h} = \mathbb R^{-}\]

 

Graph der natürlichen Logarithmusfunktion f und Graph der Funktion h, welcher durch Spiegelung des Graphen von f an der y-Achse hervorgeht

Streng monoton steigender, rechtsgekrümmter Graph der in \(\mathbb R^{+}\) definierten Funktion \(f \colon x \mapsto \ln{x}\) und streng monoton fallender, rechtsgekrümmter Graph der in \(\mathbb R^{-}\) definierten Funktion \(h \colon x \mapsto \ln(-x)\)