Bestimmen Sie diejenigen Werte von \(t\), für die der jeweils zugehörige Quader das Volumen 15 besitzt.
(3 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 1b
1. Lösungsansatz: Elemetargeometrischer Ansatz
\(\overrightarrow{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\), \(\overrightarrow{b} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}\), \(\overrightarrow{c_t} = \begin{pmatrix} 4t \\ 2t \\ -5t \end{pmatrix}\)
\[V = G \cdot h\]
Mit der Grundfläche \(G = \vert \overrightarrow{a} \vert \cdot \vert \overrightarrow{b} \vert\) und der Höhe \(h = \vert \overrightarrow{c_{t}} \vert\) ergibt sich:
Betrag eines Vektors
\[ \vert \overrightarrow{a} \vert = \sqrt{\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{a}} = \sqrt{{a_1}^2 + {a_2}^2 + {a_3}^2}\]
(vgl. Merkhilfe)
\[\begin{align*} V(t) &= \vert \overrightarrow{a} \vert \cdot \vert \overrightarrow{b} \vert\ \cdot \vert \overrightarrow{c_{t}} \vert \\[0.8em] &= \left| \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \right| \cdot \left| \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \right| \cdot \left| \begin{pmatrix} 4t \\ 2t \\ -5t \end{pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2} \cdot \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + 0^2} \cdot \sqrt{(4t)^2 + (2t)^2 + (-5t)^2} \\[0.8em] &= \sqrt{9} \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{45t^2} \\[0.8em] &= \sqrt{9 \cdot 5 \cdot 45t^2} \\[0.8em] &= \sqrt{2025t^2} \\[0.8em] &= \pm 45t \end{align*}\]
Werte von \(t\) berechnen, für die der jeweils zugehörige Quader das Volumen 15 besitzt:
\[\begin{align*} \pm 45t &= 15 & &| : 45 \\[0.8em] \pm t &= \frac{15}{45} \\[0.8em] t &= \pm \frac{1}{3} \end{align*}\]
Für \(\displaystyle t = -\frac{1}{3}\) und \(\displaystyle t = \frac{1}{3}\) besitzt der jeweils zugehörige Quader das Volumen 15.
2. Lösungsansatz: Spatprodukt anwenden
Die Volumina der Quader lassen sich mithilfe des Spatprodukts berechnen.
Anwendung des Vekorprodukts - Spatprodukt (vgl. Merkhilfe)
Volumen eines Spats
\[V_{\text{Spat}} = \left| \left( \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} \right) \circ \overrightarrow{c} \; \right|\]
Volumen einer dreiseitigen Pyramide
\[V_{\text{Pyramide}} = \frac{1}{6} \left| \left( \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} \right) \circ \overrightarrow{c} \; \right|\]
\[V(t) = \left| \bigg( \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} \bigg) \circ \overrightarrow{c_{t}} \right|\]
\(\overrightarrow{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\), \(\overrightarrow{b} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}\), \(\overrightarrow{c_t} = \begin{pmatrix} 4t \\ 2t \\ -5t \end{pmatrix}\)
Vektorprodukt (Kreuzprodukt)
Das Vektorprodukt \(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}\) zweier Vektoren \(\overrightarrow{a}\) und \(\overrightarrow{b}\) erzeugt einen neuen Vektor \(\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}\) mit den Eigenschaften:
\(\overrightarrow{c}\) ist sowohl zu \(\overrightarrow{a}\) als auch zu \(\overrightarrow{b}\) senkrecht.
\[\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} \quad \Longrightarrow \quad \overrightarrow{c} \perp \overrightarrow{a}, \enspace \overrightarrow{c} \perp \overrightarrow{b}\]
Der Betrag des Vektorprodukts zweier Vektoren \(\overrightarrow{a}\) und \(\overrightarrow{b}\) ist gleich dem Produkt aus den Beträgen der Vektoren \(\overrightarrow{a}\) und \(\overrightarrow{b}\) und dem Sinus des von ihnen eingeschlossenen Winkels \(\varphi\).
\[\vert \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} \vert = \vert \overrightarrow{a} \vert \cdot \vert \overrightarrow{b} \vert \cdot \sin{\varphi} \quad (0^{\circ} \leq \varphi \leq 180^{\circ})\]
Die Vektoren \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\) und \(\overrightarrow{c}\) bilden in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem. Rechtehandregel: Weist \(\overrightarrow{a}\) in Richtung des Daumens und \(\overrightarrow{b}\) in Richtung des Zeigefingers, dann weist \(\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}\) in Richtung des Mittelfingers.
Berechnung eines Vektorprodukts im \(\boldsymbol{\mathbb R^{3}}\) (vgl. Merkhilfe)
\[\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = \begin {pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end {pmatrix} \times \begin {pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end {pmatrix} = \begin {pmatrix} a_2 \cdot b_3 - a_3 \cdot b_2 \\ a_3 \cdot b_1 - a_1 \cdot b_3 \\ a_1 \cdot b_2 - a_2 \cdot b_1 \end {pmatrix}\]
Skalarprodukt
Unter dem Skalarprodukt \(\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b}\) zweier Vektoren \(\overrightarrow{a}\) und \(\overrightarrow{b}\) versteht man das Produkt aus den Beträgen der beiden Vektoren und dem Kosinus des von den Vektoren eingeschlossenen Winkels \(\varphi\).
\[\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b} = \vert \overrightarrow{a} \vert \cdot \vert \overrightarrow{b} \vert \cdot \cos{\varphi} \quad (0^{\circ} \leq \varphi \leq 180^{\circ})\]
Berechnung eines Skalarprodukts im \(\boldsymbol{\mathbb R^{3}}\) (vgl. Merkhilfe)
\[\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b} = \begin{pmatrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{pmatrix} = a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2} + a_{3}b_{3}\]
\[\begin{align*} V(t) &= \left| \bigg( \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} \bigg) \circ \overrightarrow{c_{t}} \right| \\[0.8em] &= \left| \left[ \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \right] \circ \begin{pmatrix} 4t \\ 2t \\ -5t \end{pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \left| \begin{pmatrix} 1 & \cdot & 0 & - & 2 & \cdot & 2 \\ 2 & \cdot & (-1) & - & 2 & \cdot & 0 \\ 2 & \cdot & 2 & - & 1 & \cdot & (-1) \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 4t \\ 2t \\ -5t \end{pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \left| \begin{pmatrix} -4 \\ -2 \\ 5 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 4t \\ 2t \\ -5t \end{pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \vert (-4) \cdot 4t + (-2) \cdot 2t + 5 \cdot (-5t) \vert \\[0.8em] &= \vert -16t - 4t -25t \vert \\[0.8em] &= \vert -45t \vert \end{align*}\]
Werte von \(t\) berechnen, für die der jeweils zugehörige Quader das Volumen 15 besitzt:
\[\begin{align*}V(t) &= 15 \\[0.8em] \vert -45t \vert &= 15 & & t \in \mathbb R \, \backslash \, \{0\} \end{align*}\]
\[\vert -45t \vert = \begin{cases} -45t & \enspace t < 0 \\[0.8em] 45t & \enspace t > 0 \end{cases}\]
\[\begin{align*} \text{für} \enspace t &< 0: & & & \text{für} \enspace t &> 0: & & \\[0.8em] -45t &= 15 & &| : (-45) \quad & \quad 45t &= 15 & &| : 45 \\[0.8em] t &= -\frac{15}{45} & & & t &= \frac{15}{45} & & \\[0.8em] t &= -\frac{1}{3} & & & t &= \frac{1}{3} & & \end{align*}\]
Für \(\displaystyle t = -\frac{1}{3}\) und \(\displaystyle t = \frac{1}{3}\) besitzt der jeweils zugehörige Quader das Volumen 15.
