Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter den 100 befragten Jugendlichen genau 85 einen Computer besitzen, wenn der Anteil derjenigen Jugendlichen, die einen Computer besitzen, unter den Jugendlichen der Kleinstadt ebenso groß ist wie unter den in der Tabelle erfassten Jugendlichen.
(3 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 2b
Ereignisse:
\(M\,\colon\) „Eine aus 200 Jugendlichen ausgewählte Person ist ein Mädchen."
\(J\,\colon\) „Eine aus 200 Jugendlichen ausgewählte Person ist ein Junge."
\(C\,\colon\) „Eine aus 200 Jugendlichen ausgewählte Person besitzt einen Computer."
Binomialverteilung
Binomialverteilte Zufallsgröße
Für eine Zufallsgröße \(X\), welche bei einer Bernoulli-Kette der Länge \(n\) die Anzahl der Treffer \(k \in \{0,1,\dots,n\}\) mit der Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) angibt, gilt:
Binomialverteilung (vgl. Merkhilfe)
\[P_{p}^{n}(X = k) = B(n;p;k) = \binom{n}{k} \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{n - k} \quad (0 \leq k \leq n)\]
Eine Binomialverteilung ist durch die Parameter \(n\) und \(p\) eindeutig bestimmt und wird durch das Symbol \(B(n:p)\) gekennzeichnet. \(X\) heißt binomialverteilt nach \(B(n;p)\).
Voraussetzung für eine Binomialverteilung
Ein Zufallsexperiment, bei dem nur zwei sich gegenseitig ausschließende Ereignisse \(A\) und \(\overline{A}\) mit konstanten Wahrscheinlichkeiten eintreten können (Bernoulli-Experiment).
Zufallsgröße \(X\,\colon\enspace\)„Anzahl der Jugendlichen, die einen Computer besitzen."
Analyse der Angabe:
>„...unter den 100 befragten Jugendlichen..."
\[\Longrightarrow \quad n = 100\]
„... dass ... genau 85 einen Computer besitzen...
\[\Longrightarrow \quad X = 85\]
„... wenn der Anteil derjenigen Jugendlichen, die einen Computer besitzen ... ebenso groß ist wie unter den in der Tabelle erfassten Jugendlichen."
\[\Longrightarrow p = P(C)\]
Anteil der Jugendlichen, die einen Computer besitzen berechnen:
Die Tabelle informiert über die Anzahl der Mädchen und die Anzahl der Jugendlichen, die einen Computer besitzen.
\[\vert M \cap C \vert = 77\]
\[\vert J \cap C \vert = 87\]
\[\vert \Omega \vert = 200\]
\[P(C) = \frac{\vert C \vert}{\vert \Omega \vert} = \frac{\vert M \cap C \vert + \vert J \cap C \vert}{\vert \Omega \vert} = \frac{77 + 87}{200} = 0{,}82\]
Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter den 100 befragten Jugendlichen genau 85 einen Computer besitzen, berechnen:
\[n = 100\,; \quad p = 0{,}82\]
Die Zufallsgröße \(X\) ist nach \(B(100;0{,}82)\) binomialverteilt.
Das Stochastische Tafelwerk mit Abiturzulassung beinhaltet keine Binomialverteilung für eine Trefferwahrscheinlichkeit \(p=0{,}82\). Die Wahrscheinlichkeit \(P^{100}_{0{,}82}(X=85)\) muss errechnet werden.
Anwenden der Formel von Bernoulli:
Formel von Bernoulli
Wahrscheinlichkeit für genau \(k\) Treffer bei einer Bernoullikette der Länge \(n\) und der Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) für das Eintreten eines betrachteten Ereignisses:
\[P(X = k) = B(n;p;k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k}\]
\[k \in \{0,1,\dots,n\}\]
\[\begin{align*} P_{0{,}82}^{100}(X = 85) &= B(100;0{,}82;85) \\[0.8em] &= \binom{100}{85} \cdot 0{,}82^{85} \cdot (1 - 0{,}82)^{100 - 82} \\[0.8em] &= \binom{100}{85} \cdot 0{,}82^{85} \cdot 0{,}18^{15} \\[0.8em] &\approx 0{,}0807 = 8{,}07\,\% \end{align*}\]
Wahrscheinlichkeitsverteilung der nach \(B(100;0{,}82)\) binomialverteilten Zufallsgröße \(X\), Wahrscheinlichkeit \(P_{0{,}82}^{100}(X = 85) = B(100;0{,}82;85)\)