Gemäß der Kettenregel gilt \(g'(x) = f'\left( f(x) \right) \cdot f'(x)\). Ermitteln Sie damit und mithilfe von Abbildung 2 alle Stellen, an denen der Graph von \(g\) eine waagrechte Tangente besitzt.

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 3b

 

\[g'(x) = f'\left( f(x) \right) \cdot f'(x)\]

 

Die Bedingung dafür, dass der Graph von \(g\) eine waagrechte Tangente (Steigung gleich null) besitzt, lautet:

Tangentensteigung

Anwendung der Differetialrechnung:

Steigung \(m_{T}\) einer Tangente \(T\) an den Graphen einer Funktion \(f\) im Punkt \(P\,(\,x_0\,|\,f(x_0)\,)\)

\[m_{T} = f'(x_0)\]

(vgl. Merkhilfe)

\[\textcolor{#cc071e}{g'(x) = 0}\]

 

Mit \(g'(x) = f'\left( f(x) \right) \cdot f'(x)\) ist die Bedingung erfüllt, falls \(\textcolor{#cc071e}{f'\left( f(x) \right) = 0}\) oder \(\textcolor{#cc071e}{f'(x) = 0}\).

 

Waagrechte Tangente des Graphen der Funktion f an der Stelle x₁ = 3 (f'(3) = 0)Abb. 2

An der Stelle \(\textcolor{#cc071e}{x_1 = 3}\) besitzt \(G_f\) eine waagrechte Tangente und es gilt somit \(\textcolor{#cc071e}{f'(3) = 0}\) (vgl. Angabe Aufgabe 3).

Mit \(\textcolor{#cc071e}{f'(3) = 0}\) gilt \(\textcolor{#cc071e}{f'\left( \textcolor{#0087c1}{f(x)} \right) = 0}\), falls \(\textcolor{#0087c1}{f(x) = 3}\).

 

Graphische Bestimmung der x-Werte sodass f(x) = 3 gilt.Abb. 2 

Mithilfe von Abbildung 2 gilt \(\textcolor{#0087c1}{f(x) = 3}\) für \(\textcolor{#0087c1}{x_2 = 2}\) und \(\textcolor{#0087c1}{x_3 = 5}\).

 

Somit besitz der Graph von \(g\) an den Stellen \(x = 2\), \(x = 3\) und \(x = 5\) jeweils eine waagrechte Tangente.