Für jeden Wert von \(a\) besitzt der Graph von \(f_{a}\) genau zwei Extrempunkte. Ermitteln Sie denjenigen Wert von \(a\), für den der Graph der Funktion \(f_{a}\) an der Stelle \(x = 3\) einen Extrempunkt hat.
(3 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 5b
Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt eines Graphen von \(f_{a}\) an der Stelle \(x = 3\) lautet:
Anwendung der Differentialrechnung:
Extrempunkte
Ist \(f'(x_{0}) = 0\) und wechselt \(f'\) an der Stelle \(x_{0}\) das Vorzeichen, so hat \(G_{f}\) an der Stelle \(x_{0}\) einen Extrempunkt.
(vgl. Merkhilfe)
\[{f_{a}}'(3) = 0\]
\({f_{a}}'(x) = \frac{3}{a}x^{2} - 1\) (vgl. Teilaufgabe 5a)
\[\begin{align*}{f_{a}}'(3) &= 0 \\[0.8em] \frac{3}{a} \cdot 3^{2} - 1 &= 0 \\[0.8em] \frac{27}{a} - 1 &= 0 &&| + 1 \\[0.8em] \frac{27}{a} &= 1 &&| \cdot a \\[0.8em] 27 &= a \end{align*}\]
