Abiturlösungen Mathematik Bayern 2021

Aufgaben mit ausführlichen Lösungen

Am Ausgang des Freizeitparks gibt es einen Automaten, der auf Knopfdruck einen Anstecker mit einem lustigen Motiv bedruckt und anschließend ausgibt. Für den Druck wird aus \(n\) verschiedenen Motiven eines zufällig ausgewählt, wobei jedes Motiv die gleiche Wahrscheinlichkeit hat.

Ein Kind holt sich drei Anstecker aus dem Automaten.

Bestimmen Sie für den Fall \(n = 5\) die Wahrscheinlichkeit dafür, dass nicht alle drei Anstecker dasselbe Motiv haben.

(2 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 4a

 

\(n = 5\): fünf verschiedene Motive

 

Da „jedes Motiv die gleiche Wahrscheinlichkeit hat" (vgl. Angabe) stellt das Bedrucken eines Ansteckers mit einem zufällig ausgewählten Motiv ein Laplace-Experiment dar.

Durch die Betrachtung des Gegenereignisses „Alle drei Anstecker haben dasselbe Motiv" vereinfacht sich die Wahrscheinlichkeitsberechnung.

Grundformeln der Kombinatorik

Grundformeln der Kombinatorik

Viele mehrstufige Zufallsexperimente können mithilfe sogenannter Urnenmodelle veranschaulicht werden. Aus einer Urne mit \(\boldsymbol{n}\) unterscheidbaren Kugeln wird \(\boldsymbol{k}\)-mal eine Kugel gezogen.

Die Modelle lassen sich in die Fälle mit/ohne Zurücklegen bzw. mit/ohne Beachtung der Reihenfolge der gezogenen Kugeln unterteilen.

loading...
Mit Zurücklegen
Ohne Zurücklegen
loading...
Mit Beachtung der Reihenfolge
Ohne Beachtung der Reihenfolge

\[n^{k}\]

\(n\): Anzahl der Unterscheidungsmerkmale

\(k\): Anzahl der Wiederholungen

 

Beispiel:

Wieviele Möglichkeiten gibt es, vier Wände eines Kinderzimmers in den Farben Seesternorange, Frochschgrün, Libellenblau, Käferrot oder Bienengelb zu streichen?

\(\textcolor{#cc071e}{n = 5}\), da fünf verschiedene Farben zur Verfügung stehen.

\(\textcolor{#0087c1}{k = 4}\), da viermal eine Farbe zu wählen ist.

Somit \(\textcolor{#cc071e}{5}^{\textcolor{#0087c1}{4}} = 625\) Möglichkeiten

- nicht abiturrelevant -

loading...
Mit Beachtung der Reihenfolge
Ohne Beachtung der Reihenfolge

\(n \cdot (n - 1) \cdot ... \cdot (n - k + 1)\)

Spezialfall: \(n!\) für \(k = n\) (Permutationen)

\(n\): Anzahl der Unterscheidungsmerkmale

\(k\): Anzahl der Wiederholungen

 

Beispiel:

Wieviele Möglichkeiten gibt es, vier Wände eines Kinderzimmers in den Farben Seesternorange, Frochschgrün, Libellenblau, Käferrot oder Bienengelb zu streichen, wenn jede Wand eine andere Farbe bekommen soll?

\(\textcolor{#cc071e}{n = 5}\), da fünf verschiedene Farben zur Verfügung stehen.

\(\textcolor{#0087c1}{k = 4}\), da viermal eine Farbe zu wählen ist.

Für die erste Wand stehen fünf Farben zur Auswahl, für die zweite Wand noch vier Farben, für die dritte Wand noch drei Farben und für die vierte Wand schließlich nur noch zwei Farben.

Somit \(\underbrace{\textcolor{#cc071e}{5} \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2}_{\textcolor{#0087c1}{k\,=\,4}} = 120\) Möglichkeiten

\[\binom{n}{k} = \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!} = \frac{n \cdot (n - 1) \cdot ... \cdot (n - k + 1)}{k!}\]

(entspricht „Ziehen mit einem Griff")

 

Der Binomialkoeffizient \(\displaystyle \binom{n}{k}\) gibt an, wie viele Möglichkeiten es gibt, aus einer Menge mit \(n\) Elementen eine Teilmenge mit \(k\) Elementen zu bilden (vgl. Merkhilfe).

 

Beispiel:

Von 30 Schüler*innen können acht Schüler*innen an einer Studienfahrt teilnehmen. Die Teilnehmer*innen werden per Los entschieden. Wieviele mögliche Gruppierungen gibt es?

\(n = 30\)

\(k = 8\)

Somit \(\displaystyle \binom{30}{8} = 5852925\) mögliche Gruppen aus jeweils acht Schüler*innen.

Es gibt insgesamt \(\textcolor{#0087c1}{5}^{\textcolor{#e9b509}{3}}\) Möglichkeiten, 3 Anstecker mit einem von 5 verschiedenen Motiven zu bedrucken.

Bei 5 verschiedenen Motiven gibt es \(\textcolor{#0087c1}{5}\) Möglichkeiten, dass alle drei Anstecker dasselbe Motiv haben.

Laplace-Wahrscheinlichkeit

Laplace-Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses \(A\)

\[P(A) = \frac{\vert A \vert}{\vert \Omega \vert} = \frac{\text{Anzahl der für} \; A \; \text{günstigen Ergebnisse}}{\text{Anzahl der möglichen Ergebnisse}}\]

Voraussetzung: Alle Ergebnisse (alle Versuchsausgänge) des betrachteten Zufallsexperiments sind gleichwahrscheinlich (Laplace-Experiment).

\[\begin{align*}&\quad \enspace P(\text{„Nicht alle drei Anstecker haben dasselbe Motiv}) \\[0.8em] &= 1 - P(\text{„Alle drei Anstecker haben dasselbe Motiv}) \\[0.8em] &= 1 - \frac{\textcolor{#0087c1}{5}}{\textcolor{#0087c1}{5}^{\textcolor{#e9b509}{3}}} \\[0.8em] &= 1 - \frac{1}{25} \\[0.8em] &= \frac{24}{25} = 0{,}96 = 96\,\%\end{align*}\]