Ermitteln Sie den größtmöglichen Wert von \(k\), für den \(P_{0{,}1}^{200}(Y \geq k) > 0{,}8\) gilt, und interpretieren Sie das Ergebnis im Sachzusammenhang.
(4 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 3d
Zufallsgröße \(Y\): Anzahl der Pedelcs unter den 200 zufällig ausgewählten Fahrrädern, für die eine Versicherung abgeschlossen wurde (vgl. Teilaufgabe 3c).
Bestimmung des größtmöglichen Werts von \(k\)
Betrachten des Gegenereignisses (mindestens \(k\) Treffer)
Kumulative Wahrscheinlichkeiten der Form \(P(X \geq k)\) einer binomialverteilten Zufallsgröße \(X\) lassen sich im Stochastischen Tafelwerk (TW) nicht nachschlagen. Die Betrachtung des Gegenereignisses \(X \leq k - 1\) ermöglicht das Verwenden des Tafelwerks (rechte Spalte):
\[\underbrace{P(X \geq k)}_{\text{mind.}\,k\,\text{Treffer}} = \underbrace{1 - \underbrace{P(X \leq k - 1)}_{\text{höchstens}\,k\,-\,1\,\text{Treffer}}}_{\text{nicht höchsten}\,k\,-\,1\,\text{Treffer}}\]
\[\begin{align*}P_{0{,}1}^{200}(Y \geq \textcolor{#e9b509}{k}) &> 0{,}8 &&| \; \text{Gegenereignis} \;Y \leq k - 1\; \text{betrachten} \\[0.8em] 1 - P_{0{,}1}^{200}(Y \leq k - 1) &> 0{,}8 &&| \; -1 \\[0.8em] - P_{0{,}1}^{200}(Y \leq k - 1) &> -0{,}2 &&| \cdot (-1) \; \text{Relationszeichen kehrt sich um!} \\[0.8em] P_{0{,}1}^{200}(Y \leq k - 1) &< 0{,}2 \end{align*}\]
Mithilfe des Tafelwerks ergibt sich der größtmögliche Wert \(k - 1 = 15\) und damit \(\textcolor{#e9b509}{k = 16}\).
\[P_{0{,}1}^{200}(Y \leq 15) = 0{,}14308 < 0{,}2 \quad \left(P_{0{,}1}^{200}(Y \leq 16) = 0{,}20748 > 0{,}2\right)\]
Interpretation des Ergebnisses im Sachzusammenhang
\[P_{\textcolor{#cc071e}{0{,}1}}^{\textcolor{#0087c1}{200}}(\textcolor{#e9b509}{Y \geq 16}) > \textcolor{#89ba17}{0{,}8}\]
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter den 200 zufällig ausgewählten Fahrrädern mindestens 16 versicherte Pedelecs sind, beträgt mehr als 80 %.
(Vgl. Mathematik Abiturskript Bayern G9 - 2 Stochastik, 2.5 Binomialverteilung)
