Abiturlösungen Mathematik Bayern 2018

Aufgaben mit ausführlichen Lösungen

Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto \sqrt{3x - 5}\) mit maximalem Definitionsbereich \(D\). Geben Sie \(D\) an und bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen von \(f\) im Punkt \((3|f(3))\).

(6 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1

 

\[f(x) = \sqrt{3x - 5}\]

 

Maximaler Definitionsbereich der Funktion \(f\)

Maximale Definitionsmenge bestimmen

Maximale Definitionsmenge bestimmen

Gebrochenrationale Funktion

\[x \mapsto \dfrac{Zähler(x)}{\textcolor{#e9b509}{\underbrace{Nenner(x)}_{\Large{\neq \, 0}}}}\]

Nullstelle(n) des Nenners ausschließen!

Wurzelfunktion

\[x \mapsto \sqrt{\mathstrut\smash{\textcolor{#e9b509}{\underbrace{\dots}_{\Large{\geq\,0}}}}} \\ {}\]

Der Wert des Terms unter der Wurzel (Radikand ) darf nicht negativ sein!

(Natürliche) Logarithmusfunktion

\(x \mapsto \ln{(\,\textcolor{#e9b509}{\underbrace{\dots}_{\Large{>\,0}}}\,)}\)  bzw.  \(x \mapsto \log_{a}{(\,\textcolor{#e9b509}{\underbrace{\dots}_{\Large{>\,0}}}\,)}\) 

Die (Natürliche) Logarithmusfunktion ist in \(\textcolor{#e9b509}{\mathbb R^{+}}\) definiert!

Der Ausdruck unter der Wurzel (Radikand) darf nicht negativ sein.

 

\[\begin{align*}3x - 5 &\geq 0 &&| + 5 \\[0.8em] 3x &\geq 5 &&| : 5 \\[0.8em] x &\geq \frac{5}{3}\end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad D = [\textstyle \frac{5}{3};\infty[\]

 

Gleichung der Tangente an \(G_{f}\) im Punkt \((3|f(3))\)

 Zunächst wird die \(y\)-Koordinate des Punktes \((3|f(3))\) berechnet:

 

\[f(3) = \sqrt{3 \cdot 3 - 5} = \sqrt{4} = 2 \quad \Longrightarrow \quad (3|2)\]

 

Der Ansatz der Gleichung der Tangente \(T\) kann mit der allgemeinen Geradengleichung erfolgen.

Allgemeine Geradengleichung

Allgemeine Geradengleichung

\[y = mx + t\]

Wobei \(m\) die Steigung und \(t\) der \(y\)-Achsenabschnitt der Geraden ist.

\[T \colon y = mx + t\]

 

Tangentensteigung berechnen:

Die erste Ableitung \(f'\) beschreibt die Steigung einer Tangente an den Graphen von \(f\).

Die Ableitungsfunktion \(f'(x)\) kann mithilfe der Ableitung einer Wurzelfunktion und der Kettenregel gebildet werden. Als Alternative formuliert man die Wurzelfunktion mithilfe des Potenzgesetzes \(\sqrt[n]{a^{m}} = a^{\frac{m}{n}}\) (hier \(\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}}\)) vorab in der Potenzschreibweise.

 

\[f(x) = \sqrt{3x - 5} = (3x - 5)^{\frac{1}{2}}\]

Erste Ableitung elementarer Funktionen und Ableitungsregeln

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Ableitungen
Ableitungsregeln

Ableitungen der Grundfunktionen

\[c' = 0 \enspace (c \in \mathbb R)\]

\[\left( x^r \right)' = r \cdot x^{r - 1} \enspace (r \in \mathbb R)\]

\[\left( \sqrt{x} \right)' = \frac{1}{2\sqrt{x}}\]

\[\left( \sin{x} \right)' = \cos{x}\]

\[\left( \cos{x} \right)' = -\sin{x}\]

 

\[\left( \ln{x} \right)' = \frac{1}{x}\]

\[\left( \log_{a}{x}\right)' = \frac{1}{x \cdot \ln{a}}\]

\[\left( e^x \right)' = e^x\]

\[\left(a^x \right)' = a^x \cdot \ln{a}\]

vgl. Merkhilfe

Faktorregel

\[\begin{align*}f(x) &= a \cdot \textcolor{#0087c1}{u(x)} \\[0.8em] f'(x) &= a \cdot \textcolor{#0087c1}{u'(x)}\end{align*}\]

Summenregel

\[\begin{align*}f(x) &= \textcolor{#0087c1}{u(x)} + \textcolor{#cc071e}{v(x)} \\[0.8em] f'(x) &= \textcolor{#0087c1}{u'(x)} + \textcolor{#cc071e}{v'(x)}\end{align*}\]

Produktregel

\[\begin{align*}f(x) &= \textcolor{#0087c1}{u(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v(x)} \\[0.8em] f'(x) &= \textcolor{#0087c1}{u'(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v(x)} + \textcolor{#0087c1}{u(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v'(x)}\end{align*}\]

 

Quotientenregel

\[\begin{align*}f(x) &= \dfrac{\textcolor{#0087c1}{u(x)}}{\textcolor{#cc071e}{v(x)}} \\[0.8em] f'(x) &= \dfrac{\textcolor{#0087c1}{u'(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v(x)} - \textcolor{#0087c1}{u(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v'(x)}}{[\textcolor{#cc071e}{v(x)}]^{2}}\end{align*}\]

Kettenregel

\[\begin{align*}f(x) &= \textcolor{#0087c1}{u(}\textcolor{#cc071e}{v(x)}\textcolor{#0087c1}{)} \\[0.8em] f'(x) &= \textcolor{#0087c1}{u'(}\textcolor{#cc071e}{v(x)}\textcolor{#0087c1}{)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v'(x)}\end{align*}\]

vgl. Merkhilfe

\[f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{3x - 5}} \cdot 3 = \frac{3}{2\sqrt{3x - 5}}\]

 

oder

 

\[\begin{align*}f'(x) &= \frac{1}{2} \cdot (3x - 5)^{-\frac{1}{2}} \cdot 3 &&| \; a^{-n} = \frac{1}{a^{n}}; \; a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a} \\[0.8em] &= \frac{3}{2\sqrt{3x - 5}} \end{align*}\]

 

Damit ergibt sich die Tangentensteigung zu:

Tangentensteigung

Anwendung der Differetialrechnung:

Steigung \(m_{T}\) einer Tangente \(T\) an den Graphen einer Funktion \(f\) im Punkt \(P\,(\,x_0\,|\,f(x_0)\,)\)

\[m_{T} = f'(x_0)\]

(vgl. Merkhilfe)

\[m = f'(3) = \frac{3}{2\sqrt{3 \cdot 3 - 5}} = \frac{3}{4}\]

 

\[\Longrightarrow \quad T \colon y = \frac{3}{4}x + t\]

 

\(y\)-Achsenabschnitt \(t\) berechnen:

Hierfür werden die Koordinaten des Punktes \((3|2)\) in die Gleichung der Tangente \(T\) eingesetzt und diese nach \(t\) aufgelöst.

 

\[\begin{align*} (3|2) \in T \colon 2 &= \frac{3}{4} \cdot 3 + t \\[0.8em] 2 &= \frac{9}{4} + t &&| -\frac{9}{4} \\[0.8em] -\frac{1}{4} &= t \end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad T \colon y = \frac{3}{4}x - \frac{1}{4}\]