Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der Pkw mit Elektromotor unter den ausgewählten Fahrzeugen. Berechnen Sie den Erwartungswert und die Standardabweichung von \(X\).
(2 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 1c
\[\mu = 200 \cdot 0{,}9 = 180\]
\[\sigma = \sqrt{200 \cdot 0{,}9 \cdot 0{,}1} \approx 4{,}2\]
Ergänzende Erklärung (nicht verlangt)
Der Anteil der Pkw mit Elektromotor beträgt \(65\,\% + 25\,\% = \textcolor{#cc071e}{90\,\%}\).
Es werden nur die beiden sich gegenseitig ausschließenden Ereignisse „Pkw mit Elektromotor" und „Pkw ohne Elektromotor" unterschieden (Bernoulli-Experiment).
Da das Urnenmodell „Ziehen mit Zurücklegen" verwendet wird (vgl. Angabe Aufgabe 1), ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses „Pkw mit Elektromotor" mit \(\textcolor{#cc071e}{p = 0{,}9}\) konstant.
Bernoulli-Experiment, Bernoulli-Kette
Ein Zufallsexperiment, bei dem nur zwei verschiedene sich gegenseitig ausschließende Ereignisse \(A\) und \(\overline{A}\) mit konstanten Wahrscheinlichkeiten eintreten können, heißt Bernoulli-Experiment.
Das Eintreten des Ereignisses \(A\) wird als Treffer und das Eintreten des Gegeneignisses \(\overline{A}\) wird als Niete bezeichnet. Die Trefferwahrscheinlichkeit \(P(A)\) bezeichnet man mit \(\boldsymbol{p}\) und die Wahrscheinlichkeit für eine Niete mit \(q = 1- p\). Wird ein Bernoulli-Experiment \(n\)-mal wiederholt, spricht man von einer Bernoulli-Kette der Länge \(\boldsymbol{n}\). Dabei müssen die einzelnen Wiederholungen unabhängig voneinander erfolgen. Das heißt, die Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) bleibt konstant.
Die Auswahl der 200 Fahrzeuge lässt sich somit als Bernoulli-Kette der Länge \(\textcolor{#0087c1}{n = 200}\) auffassen.
Binomialverteilte Zufallsgröße
Für eine Zufallsgröße \(X\), welche bei einer Bernoulli-Kette der Länge \(n\) die Anzahl der Treffer \(k \in \{0,1,\dots,n\}\) mit der Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) angibt, gilt:
Binomialverteilung (vgl. Merkhilfe)
\[P_{p}^{n}(X = k) = B(n;p;k) = \binom{n}{k} \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{n - k} \quad (0 \leq k \leq n)\]
Eine Binomialverteilung ist durch die Parameter \(n\) und \(p\) eindeutig bestimmt und wird durch das Symbol \(B(n:p)\) gekennzeichnet. \(X\) heißt binomialverteilt nach \(B(n;p)\).
Voraussetzung für eine Binomialverteilung
Ein Zufallsexperiment, bei dem nur zwei sich gegenseitig ausschließende Ereignisse \(A\) und \(\overline{A}\) mit konstanten Wahrscheinlichkeiten eintreten können (Bernoulli-Experiment).
Die Zufallsgröße \(X\) ist nach \(B(\textcolor{#0087c1}{200};\textcolor{#cc071e}{0{,}9})\) binomialverteilt.
Erwartungswert \(\boldsymbol{\mu}\) einer binomialverteilten Zufallsgröße \(\boldsymbol{X}\)
\(\mu = E(X) = n \cdot p\) (vgl. Merkhilfe)
Varianz \(Var(X)\) einer binomialverteilten Zufallsgröße \(\boldsymbol{X}\):
\(Var(X) = n \cdot p \cdot (1 - p)\) (vgl. Merkhilfe)
Standardabweichung \(\boldsymbol{\sigma}\) einer binomialverteilten Zufallsgröße \(\boldsymbol{X}\)
\[\sigma = \sqrt{Var(X)} = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)}\]
Wobei \(n\) die Länge der Bernoullikette und \(p\) die Trefferwahrscheinlichkeit für das Eintreten des betrachteten Ereignisses ist.
Erwartungswert der Zufallsgröße \(X\):
\[\mu = \textcolor{#0087c1}{n} \cdot \textcolor{#cc071e}{p} = \textcolor{#0087c1}{200} \cdot \textcolor{#cc071e}{0{,}9} = 180\]
Standarabweichung der Zufallsgröße \(X\):
\[\sigma = \sqrt{\textcolor{#0087c1}{n} \cdot \textcolor{#cc071e}{p} \cdot (1 - \textcolor{#cc071e}{p})} = \sqrt{\textcolor{#0087c1}{200} \cdot \textcolor{#cc071e}{0{,}9} \cdot (1 - \textcolor{#cc071e}{0{,}9})} \approx 4{,}2\]
