Berechnen Sie den Anteil (in Prozent), den das Rechteck mit dem Flächeninhalt \(A\) am Inhalt des Flächenstücks einnimmt, das \(G_h\) mit der \(x\)-Achse vollständig einschließt.
(4 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 1c
Flächeninhalt \(A_{h}\) des Flächenstücks, das der Graph von \(h\) mit der \(x\)-Achse einschließt und größtmögliches einbeschriebenes Rechteck mit Flächeninhalt \(A\).
Flächeninhalt \(A_{h}\) berechnen:
Das bestimmte Integral \(\displaystyle \int_{-2}^{2} h(x)\,dx\) errechnet den Flächeninhalt \(A_{h}\) des Flächenstücks, das \(G_{h}\) mit der \(x\)-Achse einschließt.
\[A_{h} = \int_{-2}^{2}h(x)\,dx\]
Berechnung bestimmter Integrale
\[\int_{a}^{b} f(x)\,dx = [F(x)]_{a}^{b} = F(b) - F(a)\]
Dabei ist \(F\) eine beliebige Stammfunktion zu \(f\).
(vgl. Merkhilfe)
Eigenschaften des bestimmten Integrals - Integrationsregeln
Identische Integrationsgrenzen:
\[\int_{a}^{a} f(x)\,dx = 0\]
Faktorregel:
\(\displaystyle \int_{a}^{b} c \cdot f(x)\,dx = c \cdot \int_{a}^{b} f(x)\,dx\) mit \(c \in \mathbb R\)
Summenregel:
\[\int_{a}^{b} \left[f(x) \pm g(x) \right] dx = \int_{a}^{b}f(x)\,dx \pm \int_{a}^{b}g(x)\,dx\]
Vertauschungsregel:
\[\int_{a}^{b}f(x)\,dx = -\int_{b}^{a}f(x)\,dx\]
Zerlegung in Teilintervalle:
\(\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\,dx = \int_{a}^{c}f(x)\,dx + \int_{c}^{b}f(x)\,dx\) mit \(a \leq c \leq b\)
\[h(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 2\]
Stammfunktion einer Potenzfunktion
\[f(x) = x^r \quad \Longrightarrow \quad F(x) = \frac{1}{r + 1} \cdot x^{r + 1} + C\]
\[r \neq -1\]
\[ \begin{align*} A_{h} &= \int_{-2}^{2} h(x)\,dx \\[0.8em] &= \int_{-2}^{2} \left ( -\frac{1}{2}x^2 + 2 \right ) dx \\[0.8em] &= \left [ -\frac{1}{6}x^3 + 2x \right ]^2_{-2} \\[0.8em] &= -\frac{1}{6} \cdot 2^3 + 2 \cdot 2 - \left ( -\frac{1}{6} \cdot (-2)^3 + 2 \cdot (-2) \right ) \\[0.8em] &= -\frac{8}{6} + 4 - \left ( \frac{8}{6} - 4 \right ) \\[0.8em] &= \frac{16}{3} \end{align*} \]
Der Flächeninhalt \(A\) des größtmöglichen einbeschriebenen Rechtecks ist aus Teilaufgabe 1b bekannt:
\[A = \frac{16}{9} \sqrt{3}\]
Prozentualen Anteil des Rechtecks berechnen:
\[\frac{A}{A_{h}} = \frac{\frac{16}{9} \sqrt{3}}{\frac{16}{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0{,}577 = 57{,}7\, \%\]
Das größtmögliche einbeschriebene Rechteck nimmt ca. 57,7 % des Flächeninhalts des Flächenstücks ein, das \(G_{h}\) mit der \(x\)-Achse einschließt.
