Abiturlösungen Mathematik Bayern 2020 Prüfungsteil B Geometrie 2
Gegeben sind in einem kartesischen Koordinatensystem die Ebene \(E \colon 4x_{1} - 8x_{2} + x_{3} + 50 = 0\) und die Gerade \(g \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 3 \\ 12 \\ -2 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 11 \\ -4 \end{pmatrix}, \; \lambda \in \mathbb R\,.\)
Erläutern Sie, warum die folgende Rechnung ein Nachweis dafür ist, dass \(g\) und \(E\) genau einen gemeinsamen Punkt haben:
\[\begin{pmatrix} 4 \\ -8 \\ 1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 5 \\ 11 \\ -4 \end{pmatrix} = -72 \neq 0\]
(1 BE)
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Berechnen Sie die Größe des Schnittwinkels von \(g\) und \(E\) und zeigen Sie, dass \(S(0{,}5|6{,}5|0)\) der Schnittpunkt von \(g\) und \(E\) ist.
(5 BE)
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Die Kugel \(K\) mit dem Mittelpunkt \(M(-13|20|0)\) berührt die Ebene \(E\). Bestimmen Sie die Koordinaten des zugehörigen Berührpunkts \(F\) sowie den Kugelradius \(r\).
(zur Kontrolle: \(F(-5|4|2)\), \(r = 18\))
(6 BE)
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Weisen Sie nach, dass die Gerade \(g\) die Kugel \(K\) im Punkt \(T(3|12|-2)\) berührt.
(5 BE)
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Die Punkte \(M\), \(T\), \(S\) und \(F\) (vgl. die Aufgaben b, c und d) liegen in einer Ebene \(Z\). Die nicht maßstabsgetreue Abbildung zeigt die Gerade \(g\), den Schnitt der Ebene \(E\) mit der Ebene \(Z\) sowie den Schnitt der Kugel \(K\) mit der Ebene \(Z\).
Begründen Sie, dass das Viereck \(MTSF\) einen Umkreis besitzt. Berechnen Sie den Flächeninhalt dieses Vierecks.
(4 BE)
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Durch die Rotation des Vierecks \(MTSF\) um die Gerade \(MS\) entsteht ein Körper. Beschreiben Sie diesen Körper.
In einer Formelsammlung ist zur Berechnung des Volumens eines solchen Körpers die Formel \(V = \frac{1}{3} \cdot \left( \frac{a}{2} \right)^{2} \cdot \pi \cdot b\) zu finden. Geben Sie für den beschriebenen Körper die Strecken an, deren Längen für \(a\) bzw. \(b\) einzusetzen sind.
(4 BE)
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2023 Christian Rieger・mathelike
