Der durchschnittliche Funktionswert einer Funktion \(h\) im Intervall \([a;b]\) kann mithilfe der folgenden Überlegung bestimmt werden:
Schließt der Graph von \(h\) mit der \(x\)-Achse und den Geraden mit den Gleichungen \(x = a\) und \(x = b\) ein Flächenstück ein, so gibt es ein Rechteck der Länge \(b - a\), das den gleichen Flächeninhalt wie das Flächenstück hat (vgl. Abbildung 2). Die Breite dieses Rechtecks stimmt mit dem Betrag des durchschnittlichen Funktionswerts von \(h\) im Intervall \([a;b]\) überein.
Bestimmen Sie für den betrachteten Zeitraum von acht Monaten die prozentuale Abweichung des Maximums der CO₂-Konzentration von der durchschnittlichen CO₂-Konzentration.
(6 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 2d
Die Abbildung zeigt die in der Aufgabenstellung geschilderte Überlegung, angewendet auf die Funktion \(k\colon x \mapsto 3{,}3 \cdot \sin{\left(\dfrac{\pi}{6}x\right)} + 406\) (vgl. Angabe Teilaufgabe 3c), in stark verkürzter Darstellung in \(y\)-Richtung.
\(k\): Beschreibt modellhaft für einen bestimmten Zeitraum von acht Monaten die gemessenen Werte der CO₂-Konzentration in ppm.
\(\textcolor{#0087c1}{\overline{k(x)}}\): Durchschnittlicher Funktionswert von \(k\) und somit Durchschnitt der gemessenen Werte der CO₂-Konzentration in ppm (Breite des Rechtecks)
Intervall \(\textcolor{#cc071e}{[0;8]}\): Betrachteter Zeitraum von acht Monaten, wobei \(x\) die in diesem Zeitraum vergangene Zeit in Monaten ist (Länge des Rechtecks).
Anwendung der Integralrechnung
Mittelwert einer Größe
Beschreibt eine Funktion \(f\) eine Größe in Abhängigkeit von der Zeit \(t\), so errechnet das Integral \(\displaystyle \frac{1}{t_2 - t_1} \cdot \int_{t_1}^{t_2}f(t)dt\) den Mittelwert der Größe im Zeitraum \([t_1;t_2]\).
Berechnung der durchschnittlichen CO₂-Konzentration
Ansatz: Der Flächeninhalt des Rechtecks der Länge \(\textcolor{#cc071e}{8}\) und der zu bestimmenden Breite \(\textcolor{#0087c1}{\overline{k(x)}}\) ist gleich dem Inhalt der Fläche, die der Graph von \(k\) im Intervall \([0;8]\) mit der \(x\)-Achse einschließt.
\[\int_a^b f(x)dx = \left[ F(x) \right]_a^b = F(b) - F(a)\]
Dabei ist \(F\) eine Stammfunktion von \(f\).
Die Berechnung eines bestimmten Integrals hängt maßgeblich davon ab, wie schwierig es ist, eine Stammfunktion des Integranden zu bilden.
Nachfolgend sind in diesem Zusammenhang wichtige unbestimmte Integrale aufgeführt (\(C \in \mathbb R\)):
\[\int x^{r} dx = \frac{x^{r + 1}}{r + 1} + C \quad (r \neq - 1)\]
\[\int \frac{1}{x}\,dx = \ln{\vert x \vert} + C\]
\[\int \sin{x} \, dx = -\cos{x} + C\]
\[\int \cos{x} \, dx = \sin{x} + C\]
\[\int e^{x} dx = e^{x} + C\]
\[\int \ln{x}\, dx = -x + x \cdot \ln{x} + C\]
\[\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \ln{\vert f(x) \vert} + C\]
\[\int f'(x) \cdot e^{f(x)} dx = e^{f(x)} + C\]
\(\displaystyle \int f(ax + b) \, dx = \frac{1}{a} \cdot F(ax + b) + C\), wobei \(F\) eine Stammfunktion von \(f\) ist.
Ein bestimmtes Integral \(\displaystyle \int_a^b f(x)dx\) gibt die Flächenbilanz der Inhalte der Flächen an, die der Graph der Funktion \(f\) im Intervall \([a;b]\) mit der \(x\)-Achse einschließt.
Dabei zählen für \(a < b\) Flächen oberhalb der \(\textcolor{#0087c1}{x}\)-Achse positiv und Flächen unterhalb der \(\textcolor{#cc071e}{x}\)-Achse negativ. Für \(a > b\) zählen die Flächen mit umgekehrten Vorzeichen.
Identische Integrationsgrenzen:
\[\int_{\textcolor{#cc071e}{a}}^{\textcolor{#cc071e}{a}}f(x)dx = 0\]
Faktorregel:
\(\displaystyle \int_{a}^{b} \textcolor{#e9b509}{k} \cdot f(x)dx = \textcolor{#e9b509}{k} \cdot \int_{a}^{b}f(x)dx\) mit \(\textcolor{#e9b509}{k} \in \mathbb R\)
Summenregel:
\[\int_{a}^{b} \left[f(x) \pm g(x) \right] dx = \int_{a}^{b}f(x)\,dx \pm \int_{a}^{b}g(x)\,dx\]
Vertauschungsregel:
\[\int_{\textcolor{#cc071e}{a}}^{\textcolor{#0087c1}{b}}f(x)\,dx = -\int_{\textcolor{#0087c1}{b}}^{\textcolor{#cc071e}{a}}f(x)\,dx\]
Zerlegung in Teilintervalle:
\[\displaystyle \int_{\textcolor{#cc071e}{a}}^{\textcolor{#0087c1}{b}}f(x)\,dx = \int_{\textcolor{#cc071e}{a}}^{\textcolor{#89ba17}{c}}f(x)\,dx + \int_{\textcolor{#89ba17}{c}}^{\textcolor{#0087c1}{b}}f(x)\,dx\]
\[\begin{align*} \textcolor{#0087c1}{\overline{k(x)}} \cdot \textcolor{#cc071e}{8} &= \int_0^8 k(x)dx \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \enspace \enspace \: \, | : 8 \\[0.8em] \textcolor{#0087c1}{\overline{k(x)}} &= \frac{1}{8} \cdot \int_0^8 \left( 3{,}3 \cdot \textcolor{#e9b509}{\sin{\left(\frac{\pi}{6}x\right)}} + 406\right)dx \qquad \enspace \Big| \; \int \textcolor{#e9b509}{f(ax+b)}dx = \textcolor{#e9b509}{\frac{1}{a}\cdot F(ax+b)} + C \\ & \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \enspace \enspace \; \Big | \; \int \textcolor{#e9b509}{\sin{x}}dx = \textcolor{#e9b509}{-\cos{x}} + C \\[0.8em] &= \frac{1}{8} \cdot \left[\textcolor{#e9b509}{-}3{,}3 \cdot \textcolor{#e9b509}{\frac{6}{\pi} \cdot \cos{\left(\frac{\pi}{6}x\right)}} + 406x\right]_0^8 \\[0.8em] &= \frac{1}{8} \cdot \left( -3{,}3 \cdot \frac{6}{\pi} \cdot \cos{\left( \frac{\pi}{6} \cdot 8 \right)} + 406 \cdot 8 - \left( -3{,}3 \cdot \frac{6}{\pi} \cdot \cos{\left( \frac{\pi}{6} \cdot 0 \right)} + 406 \cdot 0 \right) \right) \\[0.8em] &\approx \textcolor{#0087c1}{407{,}2} \end{align*}\]
Die durchschnittliche CO₂-Konzentration beträgt etwa 407,2 ppm.
Prozentuale Abweichung des Maximums der CO₂-Konzentration von der durchschnittlichen CO₂-Konzentration
\[k(x) = 3{,}3 \cdot \sin{\left(\frac{\pi}{6}x\right)} + 406\]
Eigenschaften der Sinusfunktion \(\boldsymbol{x \mapsto \sin{x}}\) und der Kosinusfunktion \(\boldsymbol{x \mapsto \cos{x}}\)
| Eigenschaften | \(\textcolor{#0087c1}{f(x) = \sin{x}}\) | \(\textcolor{#cc071e}{f(x)=\cos{x}}\) |
| Definitionsmenge | \(D_f = \mathbb R\) | \(D_f = \mathbb R\) |
| Wertemenge | \(W_f = [-1;1]\) | \(W_f = [-1;1]\) |
| Periode | \(2\pi\) | \(2\pi\) |
| Symmetrieverhalten des Funktionsgraphen | punktsymmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs | achsensymmetrisch bezüglich der \(y\)-Achse |
| Nullstellen (\(k \in \mathbb Z\)) | \(\smash{x_k = k \cdot \pi} \vphantom{\dfrac{\pi}{2}}\) | \(x_k = \dfrac{\pi}{2} + k \cdot \pi\) |
| Relative Maxima (\(k \in \mathbb Z\)) | \(x_k = \dfrac{\pi}{2} + k \cdot 2\pi\) | \(\smash{x_k = k \cdot 2\pi} \vphantom{\dfrac{\pi}{2}}\) |
| Relative Minima (\(k \in \mathbb Z\)) | \(x_k = \dfrac{3}{2}\pi + k \cdot 2\pi\) | \(\smash{x_k = \pi + k \cdot 2\pi} \vphantom{\dfrac{\pi}{2}}\) |
Wegen \(\sin{\left(\dfrac{\pi}{2}\right)} = 1\) ist \(k(3)\) das Maximum der CO₂-Konzentration.
\[\frac{k(3) - \textcolor{#0087c1}{407{,}2}}{\textcolor{#0087c1}{407{,}2}} = \frac{3{,}3 + 406 - 407{,}2}{407{,}2} \approx 0{,}005 = 0{,}5\,\%\]
Das Maximum der CO₂-Konzentration liegt etwa 0,5 % über der durchschnittlichen CO₂-Konzentration.
