Bestimmen Sie einen Term der ersten Ableitungsfunktion \(f'\) von \(f\).

(zur Kontrolle: \(f'(x) = \left( 1 - x^2 \right) \cdot e^{-\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}}\))

(2 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1b

 

Für die Bestimmung von \(f'\) wird u. a. die Produkt- und die Kettenregel benötigt.

 

\[f(x) = \textcolor{#0087c1}{x} \cdot \textcolor{#cc071e}{e^{-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}}}; \; D_f = \mathbb R\]

Erste Ableitung elementarer Funktionen und Ableitungsregeln

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Ableitungen der Grundfunktionen

\[c' = 0 \enspace (c \in \mathbb R)\]

\[\left( x^r \right)' = r \cdot x^{r - 1} \enspace (r \in \mathbb R)\]

\[\left( \sqrt{x} \right)' = \frac{1}{2\sqrt{x}}\]

\[\left( \sin{x} \right)' = \cos{x}\]

\[\left( \cos{x} \right)' = -\sin{x}\]

 

\[\left( \ln{x} \right)' = \frac{1}{x}\]

\[\left( \log_{a}{x}\right)' = \frac{1}{x \cdot \ln{a}}\]

\[\left( e^x \right)' = e^x\]

\[\left(a^x \right)' = a^x \cdot \ln{a}\]

vgl. Merkhilfe

Faktorregel

\[\begin{align*}f(x) &= a \cdot \textcolor{#0087c1}{u(x)} \\[0.8em] f'(x) &= a \cdot \textcolor{#0087c1}{u'(x)}\end{align*}\]

Summenregel

\[\begin{align*}f(x) &= \textcolor{#0087c1}{u(x)} + \textcolor{#cc071e}{v(x)} \\[0.8em] f'(x) &= \textcolor{#0087c1}{u'(x)} + \textcolor{#cc071e}{v'(x)}\end{align*}\]

Produktregel

\[\begin{align*}f(x) &= \textcolor{#0087c1}{u(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v(x)} \\[0.8em] f'(x) &= \textcolor{#0087c1}{u'(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v(x)} + \textcolor{#0087c1}{u(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v'(x)}\end{align*}\]

 

Quotientenregel

\[\begin{align*}f(x) &= \dfrac{\textcolor{#0087c1}{u(x)}}{\textcolor{#cc071e}{v(x)}} \\[0.8em] f'(x) &= \dfrac{\textcolor{#0087c1}{u'(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v(x)} - \textcolor{#0087c1}{u(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v'(x)}}{[\textcolor{#cc071e}{v(x)}]^{2}}\end{align*}\]

Kettenregel

\[\begin{align*}f(x) &= \textcolor{#0087c1}{u(}\textcolor{#cc071e}{v(x)}\textcolor{#0087c1}{)} \\[0.8em] f'(x) &= \textcolor{#0087c1}{u'(}\textcolor{#cc071e}{v(x)}\textcolor{#0087c1}{)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v'(x)}\end{align*}\]

vgl. Merkhilfe

\[\begin{align*}f'(x) &= \underbrace{\textcolor{#0087c1}{1} \cdot \textcolor{#cc071e}{e^{-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}}} + \textcolor{#0087c1}{x} \cdot \overbrace{\textcolor{#cc071e}{e^{-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}}} \cdot \textcolor{#cc071e}{\left(-\frac{1}{2} \cdot 2x + 0\right)}}^{\text{Kettenregel}}}_{\text{Produktregel}} \\[0.8em] &= e^{-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}} - x^2 \cdot e^{-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}} &&| \; e^{-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}}\;\text{ausklammern} \\[0.8em] &= (1 - x^2) \cdot e^{-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}}\end{align*}\]