Im Folgenden wird die Doppelpyramide in Abbildung 1 betrachtet. Die beiden Teilpyramiden \(ABCDS\) und \(ABCDT\) sind gleich hoch. Der Punkt \(T\) liegt im Koordinatenursprung, der Punkt \(S\) ebenfalls auf der \(z\)-Achse. Die Seitenfläche \(BCT\) liegt in einer Ebene \(E\).
Bestimmen Sie eine Gleichung von \(E\) in Koordinatenform.
(zur Kontrolle: \(E \colon 12y-5z= 0\))
Abb. 1
(3 BE)
Lösung zu Teilaufgabe b
Beispielsweise liefert das Vektorprodukt \(\textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{BT}} \times \textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{BC}}\) einen Normalenvektor \(\textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{n}}\) der Ebene \(E\), in der die Seitenfläche \(\textcolor{#cc071e}{BCT}\) liegt.
Ebenengleichung in Normalenform
Jede Ebene lässt sich durch eine Gleichung in Normalenform beschreiben. Ist \(\textcolor{#0087c1}{A}\) ein beliebiger Aufpunkt der Ebene \(\textcolor{#0087c1}{E}\) und \(\textcolor{#e9b509}{\overrightarrow{n}}\) ein Normalenvektor von \(E\), so erfüllt jeder Punkt \(X\) der Ebene \(E\) folgende Gleichungen:
Normalenform in Vektordarstellung
\[E \colon \textcolor{#e9b509}{\overrightarrow{n}} \circ (\overrightarrow{OX} - \textcolor{#0087c1}{\overrightarrow{OA}}) = 0\]
Normalenform in Koordinatendarstellung
\[E \colon \textcolor{#e9b509}{n_{1}}x_{1} + \textcolor{#e9b509}{n_{2}}x_{2} + \textcolor{#e9b509}{n_{3}}x_{3} + k = 0\]
mit \(k = -(\overrightarrow{n} \circ \overrightarrow{OA}) = - n_{1}a_{1} - n_{2}a_{2} - n_{3}a_{3}\)
\(n_{1}\), \(n_{2}\) und \(n_{3}\): Koordinaten eines Normalenvektors \(\overrightarrow{n}\)
Sind zwei linear unabhängige Richtungsvektoren \(\textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{u}}\) und \(\textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{v}}\) einer Ebene \(E\) bekannt, liefert das Vektorprodukt \(\textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{u}} \times \textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{v}}\) einen Normalenvektor \(\textcolor{#e9b509}{\overrightarrow{n}}\) der Ebene \(E\).
\(\textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{BC}} = \textcolor{#cc071e}{\begin{pmatrix} -10\\0\\0 \end{pmatrix}}\) (vgl. Teilaufgabe a)
\[\textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{BT}} = \overrightarrow{OT} - \overrightarrow{OB} = \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5\\5\\12 \end{pmatrix} = \textcolor{#cc071e}{\begin{pmatrix} -5\\-5\\-12 \end{pmatrix}}\]
Vektorprodukt (Kreuzprodukt)
Das Vektorprodukt \(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}\) zweier Vektoren \(\overrightarrow{a}\neq \overrightarrow{0}\) und \(\overrightarrow{b} \neq \overrightarrow{0}\), die nicht parallel zueinander sind, erzeugt einen neuen Vektor \(\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}\), der zu beiden Vektoren \(\overrightarrow{a}\) und \(\overrightarrow{b}\) orthogonal (senkrecht) ist.
\[\textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{c}} = \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} \, \Rightarrow \begin{cases}\textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{c}} \circ \overrightarrow{a} = 0\; \Leftrightarrow \;\textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{c}} \perp \overrightarrow{a} \\\textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{c}} \circ \overrightarrow{b} = 0\; \Leftrightarrow \;\textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{c}} \perp \overrightarrow{b}\end{cases} \quad (\overrightarrow{a} \neq \overrightarrow{0},\, \overrightarrow{b} \neq \overrightarrow{0},\, \overrightarrow{a} \neq k \cdot \overrightarrow{b}\;\text{mit} \;k \in \mathbb R \backslash \{0\})\]
Es gilt: \(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = \begin {pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end {pmatrix} \times \begin {pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end {pmatrix} = \begin {pmatrix} a_2 \cdot b_3 - a_3 \cdot b_2 \\ a_3 \cdot b_1 - a_1 \cdot b_3 \\ a_1 \cdot b_2 - a_2 \cdot b_1 \end {pmatrix}\)
\(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = -\left(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{a}\right)\)
(Das Kommutativgesetz gilt nicht.)
Die Rechte-Hand-Regel beschreibt die gegenseitige Lage der Vektoren \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\) und \(\textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{c}} = \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}\) im Raum. Weist \(\overrightarrow{a}\) in Richtung des Daumens und \(\overrightarrow{b}\) in Richtung des Zeigefingers, so weist der Mittelfinger in Richtung von \(\textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{c}} = \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}\).
\[\begin{align*}\textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{BT}} \times \textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{BC}} &= \textcolor{#cc071e}{\begin{pmatrix} -5\\-5\\-12 \end{pmatrix}} \times \textcolor{#cc071e}{\begin{pmatrix} -10\\0\\0 \end{pmatrix}} \\[0.8em] &= \begin{pmatrix}-5 & \cdot & 0 & - & (-12) & \cdot & 0 \\ -12 & \cdot & (-10) & - & (-5) & \cdot & 0\\-5 & \cdot & 0 & - & (-5) & \cdot & (-10) \end{pmatrix} \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} 0 \\ 120 \\ -50 \end{pmatrix} = 10 \cdot \textcolor{#cc071e}{\begin{pmatrix} 0\\12\\-5 \end{pmatrix}}\end{align*}\]
Somit ist \(\textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{n} = \begin{pmatrix} 0\\12\\-5 \end{pmatrix}}\) ein Normalenvektor der Ebene \(E\).
Als Aufpunkt für die Gleichung der Ebenen \(E\) in Koordinatenform wird beispielsweise der Punkt \(\textcolor{#e9b509}{T(0|0|0)} \in E\) gewählt.
Ansatz mit Vektordarstellung
\[\begin{align*} &E \colon \textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{n}} \circ (\overrightarrow{OX} - \textcolor{#e9b509}{\overrightarrow{OT}}) = 0 \\[0.8em] &E \colon \textcolor{#cc071e}{\begin{pmatrix} 0\\12\\-5 \end{pmatrix}} \circ \left[ \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} - \textcolor{#e9b509}{\begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix}} \right] = 0 \\[0.8em] &E\colon 12y - 5z = 0 \end{align*}\]
Ansatz mit Koordinatendarstellung
\[\begin{align*}&E \colon n_1x +n_2y + n_3z + k = 0 \\[0.8em] &E \colon \textcolor{#cc071e}{12}y \textcolor{#cc071e}{-5}z + k = 0 \\[0.8em] \textcolor{#e9b509}{T(0|0|0)} \in\; &E \colon 12 \cdot \textcolor{#e9b509}{0} - 5 \cdot \textcolor{#e9b509}{0} + k = 0 \\[0.8em] &\Rightarrow k = 0 \\[0.8em] &E \colon 12y - 5z = 0 \end{align*}\]
(Vgl. Mathematik Abiturskript Bayern G9 - 3 Geometrie, 3.3.3 Ebenengleichung in Normalenform)
