Gegeben ist die Kugel \(K\) mit Mittelpunkt \(M(3|-6|5)\) und Radius \(2\sqrt{6}\).

Geben Sie eine Gleichung von \(K\) in Koordinatenform an und zeigen Sie, dass der Punkt \(P(5|-4|1)\) auf \(K\) liegt.

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe a

 

Gleichung der Kugel \(K\) in Koordinatenform

\(M(\textcolor{#0087c1}{3}|\textcolor{#0087c1}{-6}|\textcolor{#0087c1}{5})\), \(r = \textcolor{#cc071e}{2\sqrt{6}}\)

Kugelgleichung

Kugelgleichung

Eine Kugel mit dem Mittelpunkt \(M(m_{1}|m_{2}|m_{3})\) und dem Radius \(r\) wird beschrieben durch:

Vektordarstellung

\[(\overrightarrow{X} - \overrightarrow{M})^{2} = r^{2}\]

Koordinatendarstellung

\[(x_{1} - m_{1})^{2} + (x_{2} - m_{2})^{2} + (x_{3} - m_{3})^{2} = r^{2}\]

\[K \colon (x_1 - \textcolor{#0087c1}{m_1})^2 + (x_2 - \textcolor{#0087c1}{m_2})^2 + (x_3 - \textcolor{#0087c1}{m_3})^2 = \textcolor{#cc071e}{r}^2\]

\[K \colon (x_1 - \textcolor{#0087c1}{3})^2 + (x_2 - \textcolor{#0087c1}{(-6)})^2 + (x_3 - \textcolor{#0087c1}{5})^2 = \left(\textcolor{#cc071e}{2\sqrt{6}}\right)^2\]

\[K \colon (x_1 - 3)^2 + (x_2 + 6)^2 + (x_3 - 5)^2 = \left( 2\sqrt{6} \right)^2\; \text{oder}\]

\[K \colon (x_1 - 3)^2 + (x_2 + 6)^2 + (x_3 - 5)^2 = 24\]

 

Nachweis, dass der Punkt \(P(5|-4|1)\) auf \(K\) liegt

Es ist zu zeigen, dass das Einsetzen der Koordinaten des Punktes \(P(\textcolor{#e9b509}{5}|\textcolor{#e9b509}{-4}|\textcolor{#e9b509}{1})\) in die Gleichung der Kugel \(K\) eine wahre Aussage liefert (Punktprobe).

 

\[K \colon (\textcolor{#e9b509}{x_1} - 3)^2 + (\textcolor{#e9b509}{x_2} + 6)^2 + (\textcolor{#e9b509}{x_3} - 5)^2 = 24\]

 

\[\begin{align*}(\textcolor{#e9b509}{5} - 3)^2 + (\textcolor{#e9b509}{-4} + 6)^2 + (\textcolor{#e9b509}{1} - 5)^2 &= 24 \\[0.8em] 2^2 + 2^2 + (-4)^2 &= 24 \\[0.8em] 4 + 4 + 16 &= 24 \\[0.8em] 24 &= 24\end{align*} \]

 

Also liegt der Punkt \(P(5|-4|1)\) auf der Kugel \(K\).