Das Dreieck \(ABC\) aus Aufgabe \(a\) ist die Grundfläche einer dreiseitigen Pyramide \(ABCS\) mit der Spitze \(S(11{,}5|4|-6)\).
Die Grundfläche der Pyramide liegt in einer Ebene \(E\). Ermitteln Sie eine Gleichung von \(E\) in Normalenform.
(mögliches Ergebnis: \(E\colon \enspace 2x_1 + x_2 -2x_3 - 3 = 0)\)
(3 BE)
Lösung zu Teilaufgabe c
\[A\,(1|7|3), \qquad B\,(6|-7|1), \qquad C\,(-2|1|-3)\]
Ebenengleichung in Normalenform (vgl. Merkhilfe)
Jeden Ebene lässt sich durch eine Gleichung in Normalenform beschreiben. Ist \(A\) ein beliebiger Aufpunkt der Ebene \(E\) und \(\overrightarrow{n}_{E}\) ein Normalenvektor von \(E\), so erfüllt jeder Punkt \(X\) der Ebene \(E\) folgende Gleichungen:
Normalenform in Vektordarstellung
\[E \colon \overrightarrow{n}_{E} \circ (\overrightarrow{X} - \overrightarrow{A}) = 0\]
Normalenform in Koordinatendarstellung
\[E \colon n_{1}x_{1} + n_{2}x_{2} + n_{3}x_{3} + n_{0} = 0\]
mit \(n_{0} = -(\overrightarrow{n}_{E} \circ \overrightarrow{A}) = - \: n_{1}a_{1} - n_{2}a_{2} - n_{3}a_{3}\)
\(n_{1}\), \(n_{2}\) und \(n_{3}\): Koordinaten eines Normalenvektors \(\overrightarrow{n}_{E}\)
Richtungsvektoren \(\overrightarrow {u}_E\) und \(\overrightarrow {v}_E\) der Ebene \(E\) bestimmen:
Aus Teilaufgabe a sind die linear unabhängigen Vektoren \(\overrightarrow{CA}\) und \(\overrightarrow{CB}\) bereits bekannt.
\[\overrightarrow{CA} = 3 \cdot \begin {pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end {pmatrix} \quad \Longrightarrow \quad \overrightarrow {u}_E = \begin {pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end {pmatrix}\]
\[\overrightarrow{CB} = 4 \cdot \begin {pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end {pmatrix} \quad \Longrightarrow \quad \overrightarrow {v}_E = \begin {pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end {pmatrix}\]
Normalenvektor \(\overrightarrow {n}_E\) der Ebene \(E\) bestimmen:
\[\overrightarrow {n}_E = \overrightarrow {u}_E \times \overrightarrow {v}_E \]
Vektorprodukt (Kreuzprodukt)
Das Vektorprodukt \(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}\) zweier Vektoren \(\overrightarrow{a}\) und \(\overrightarrow{b}\) erzeugt einen neuen Vektor \(\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}\) mit den Eigenschaften:
\(\overrightarrow{c}\) ist sowohl zu \(\overrightarrow{a}\) als auch zu \(\overrightarrow{b}\) senkrecht.
\[\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} \quad \Longrightarrow \quad \overrightarrow{c} \perp \overrightarrow{a}, \enspace \overrightarrow{c} \perp \overrightarrow{b}\]
Der Betrag des Vektorprodukts zweier Vektoren \(\overrightarrow{a}\) und \(\overrightarrow{b}\) ist gleich dem Produkt aus den Beträgen der Vektoren \(\overrightarrow{a}\) und \(\overrightarrow{b}\) und dem Sinus des von ihnen eingeschlossenen Winkels \(\varphi\).
\[\vert \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} \vert = \vert \overrightarrow{a} \vert \cdot \vert \overrightarrow{b} \vert \cdot \sin{\varphi} \quad (0^{\circ} \leq \varphi \leq 180^{\circ})\]
Die Vektoren \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\) und \(\overrightarrow{c}\) bilden in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem. Rechtehandregel: Weist \(\overrightarrow{a}\) in Richtung des Daumens und \(\overrightarrow{b}\) in Richtung des Zeigefingers, dann weist \(\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}\) in Richtung des Mittelfingers.
Berechnung eines Vektorprodukts im \(\boldsymbol{\mathbb R^{3}}\) (vgl. Merkhilfe)
\[\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = \begin {pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end {pmatrix} \times \begin {pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end {pmatrix} = \begin {pmatrix} a_2 \cdot b_3 - a_3 \cdot b_2 \\ a_3 \cdot b_1 - a_1 \cdot b_3 \\ a_1 \cdot b_2 - a_2 \cdot b_1 \end {pmatrix}\]
\[\begin{align*} \overrightarrow {n}_E &= \overrightarrow {u}_E \times \overrightarrow {v}_E \\[0.8em] &= \begin {pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end {pmatrix} \times \begin {pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end {pmatrix} \\[0.8em] &= \begin {pmatrix} 2 & \cdot & 1 & - & 2 & \cdot & (-2) \\ 2 & \cdot & 2 & - & 1 & \cdot & 1 \\ 1 & \cdot & (-2) & - & 2 & \cdot & 2 \end {pmatrix} \\[0.8em] &= \begin {pmatrix} 6 \\ 3 \\ -6 \end {pmatrix} \\[0.8em] &= 3 \cdot \begin {pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end {pmatrix} \end{align*}\]
\[\Longrightarrow \quad \overrightarrow {n}_E = \begin {pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end {pmatrix}\]
Ebenengleichung in Normalenform in Vektordarstellung aufstellen:
Es sei \(C\,(-2|1|-3)\) Aufpunkt der Ebene \(E\).
\[\begin {align*} \Longrightarrow \quad &E \colon \enspace \overrightarrow {n}_E \circ \left( \overrightarrow X - \overrightarrow C \right) = 0 \\[0.8em] &E \colon \enspace \begin {pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end {pmatrix} \circ \left[ \overrightarrow X - \begin {pmatrix} -2 \\ 1 \\ -3 \end {pmatrix} \right] = 0 \end {align*}\]
Ebenengleichung in Normalenform in Koordinatendarstellung bestimmen:
Skalarprodukt
Unter dem Skalarprodukt \(\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b}\) zweier Vektoren \(\overrightarrow{a}\) und \(\overrightarrow{b}\) versteht man das Produkt aus den Beträgen der beiden Vektoren und dem Kosinus des von den Vektoren eingeschlossenen Winkels \(\varphi\).
\[\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b} = \vert \overrightarrow{a} \vert \cdot \vert \overrightarrow{b} \vert \cdot \cos{\varphi} \quad (0^{\circ} \leq \varphi \leq 180^{\circ})\]
Berechnung eines Skalarprodukts im \(\boldsymbol{\mathbb R^{3}}\) (vgl. Merkhilfe)
\[\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b} = \begin{pmatrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{pmatrix} = a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2} + a_{3}b_{3}\]
\[\begin {align*} \begin {pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end {pmatrix} \circ \left[ \overrightarrow X - \begin {pmatrix} -2 \\ 1 \\ -3 \end {pmatrix} \right] &= 0 \\[0.8em] 2 \cdot (x_1 + 2) + 1 \cdot (x_2 - 1) + (-2) \cdot (x_3 + 3) &= 0 \\[0.8em] 2x_1 + x_2 -2x_3 - 3 &= 0 \end {align*}\]
\[E \colon \enspace 2x_1 + x_2 -2x_3 - 3 = 0\]