Abbildung 1 Klausur Q12/1-004 Aufgabe 2 - Graph von f

Abbildung 2 Klausur Q12/1-004 Aufgabe 2 - Graph A

Abbildung 3 Klausur Q12/1-004 Aufgabe 2 - Graph B

Abbildung 4 Klausur Q12/1-004 Aufgabe 2 - Graph C

Die Abbildungen zeigen den Graphen \(G_{f}\) einer in \(\mathbb R\) definierten und stetigen Funktion \(f\) sowie die Graphen A, B und C.

Entscheiden Sie, welcher der Graphen A, B oder C den Graphen der Integralfunktion \(\displaystyle I_{0} \colon x \mapsto \int_{0}^{x} f(t) dt\) darstellt, indem Sie begründen weshalb die beiden anderen Graphen nicht in Frage kommen. 

Graph C zeigt den Graphen der Integralfunktion \(\displaystyle I_{0} \colon x \mapsto \int_{0}^{x} f(t) dt\).

 

Begründung, weshalb Graph A nicht in Frage kommt

Abbildung 2 Klausur Q12/1-004 Aufgabe 2 - Graph A

Nullstelle einer Integralfunktion

Nullstelle einer Integralfunktion

Jede Integralfunktion \(\displaystyle I_{a} \colon x \mapsto \int_{a}^{x} f(t)\, dt\) besitzt an der unteren Integrationsgrenze \(x = a\) eine Nullstelle.

\[I_{a}(a) = \int_{a}^{a} f(t) \, dt = F(a) - F(a) = 0\]

\(F\) ist eine Stammfunktion von \(f\).

Die Integralfunktion \(\displaystyle I_{0} \colon x \mapsto \int_{0}^{x} f(t) dt\) besitzt an der unteren Integrationsgrenze \(x = 0\) eine Nullstelle, d. h. es gilt: \(I_{0}(0) = 0\) und der Graph \(G_{I_{0}}\) der Integralfunktion \(I_{0}\) verläuft durch den Koordinatenursprung \((0|0)\).

Graph A verläuft eindeutig nicht durch den Koordinatenursprung und stellt somit nicht den Graphen der Integralfunktion \(I_{0}\) dar. 

 

Begründung, weshalb Graph B nicht in Frage kommt

Abbildung 1 Klausur Q12/1-004 Aufgabe 2 - Graph von f

Dem Verlauf des Graphen \(G_{f}\) ist zu entnehmen, dass im abgebildeten Bereich \(f(x) \geq 0\) gilt.

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (HDI)

Jede Integralfunktion \(\displaystyle I_{a} \colon x \mapsto \int_{a}^{x} f(t)\, dt\) einer stetigen Funktion \(f\) ist eine Stammfunktion von \(f\).

\[I_{a}(x) = \int_{a}^{x} f(t)\, dt \quad \Longrightarrow \quad I'_{a}(x) = f(x)\]

(vgl. Merkhilfe)

Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ist die Integralfunktion \(I_{0}\) eine Stammfunktion der Funktion \(f\) und es gilt \(I'_{0}(x) = f(x)\).

 

\[\Longrightarrow \quad I'_{0}(x) \geq 0\]

Monotoniekriterium

Anwendung der Differetialrechnung:

Monotoniekriterium

\(f'(x) < 0\) im Intervall \( I \enspace \Rightarrow \enspace G_{f}\) fällt streng monoton in \(I\)

\(f'(x) > 0\) im Intervall \( I \enspace \Rightarrow \enspace G_{f}\) steigt streng monoton in \(I\)

(vgl. Merkhilfe)

Gemäß dem Monotoniekriterium ist der Graph \(G_{I_{0}}\) der Integralfunktion \(I_{0}\) also im abgebildeten Bereich monoton steigend.

Abbildung 3 Klausur Q12/1-004 Aufgabe 2 - Graph B

Graph B ist im abgebildeten Bereich monoton fallend und stellt deshalb nicht den Graphen der Integralfunktion \(I_{0}\) dar.

 

Nach dem Ausschlussprinzip ist Graph C der Graph der Integralfunktion \(I_{0}\).

 

Nachfolgende Erläuterung ist im Sinne der Aufgabenstellung nicht erforderlich. Sie dient lediglich dem besseren Verständnis.

 

Abbildung 4 Klausur Q12/1-004 Aufgabe 2 - Graph C

Graph \(C\) verläuft durch den Koordinatenursprung und ist im abgebildeten Bereich monoton steigend.

Da \(G_{f}\) die \(x\)-Achse im Koordinatenursprung berührt (vgl. oben), ist \(x = 0\) doppelte Nullstelle von \(f\) (ohne Vorzeichenwechsel). Mit \(I'_{0}(0) = f(0) = 0\) und \(I'_{0}(x) \geq 0\) folgt, dass der Graph der Integralfunktion \(I_{0}\) an der Stelle \(x = 0\) eine waagrechte Tangente hat und in der Umgebung von \(x = 0\) streng monoton steigt. Das bedeutet, dass \(G_{I_{0}}\) an der Stelle \(x = 0\) einen Terrassenpunkt hat. Graph C bestätigt dies.